2008年大纲1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年大纲1（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 函数y = √ x(x −1) + √x 的定义域为 ( ) 5分
   A. {x | x ⩾0} B. {x | x ⩾1} C. {x | x ⩾1} ∪{0} D. {x | 0 ⩽x ⩽1}
2. 2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车, 若把这一过程中 汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数, 其图象可能是 ( ) (A) t s O (B) t s O (C) t s O (D) t s O 5分
3. 3. 在△ABC 中, # » AB = c, # » AC = b. 若点D 满足# » BD = 2# » DC, 则# » AD =( ) 3b + 1 3c 3c −2 3b 3b −1 3c 3b + 2 3c 5分
   A. 2 B. 5 C. 2 D. 1
4. 4. 设a ∈R, 且(a + i)2i 为正实数, 则a = ( ) 5分
   A. 2 B. 1 C. 0 D. −1
5. 5. 已知等差数列{an} 满足a2 + a4 = 4, a3 + a5 = 10, 则它的前10 项的和 S10 = ( ) 5分
   A. 138 B. 135 C. 95 D. 23
6. 6. 若函数y = f(x −1) 的图象与函数y = ln √x + 1 的图象关于直线y = x 对称, 则f(x) = ( ) 5分
   A. e2x−1 B. e2x C. e2x+1 D. e2x+2
7. 7. 设曲线y = x + 1 x −1 在点(3, 2) 处的切线与直线ax + y + 1 = 0 垂直, 则 ( ) 2 2 5分
   A. = A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
8. 8. 为得到函数y = cos ( 2x + π 3 ) 的图象, 只需将函数y = sin 2x 的图象( ) 12 个长度单位 12 个长度单位 6 个长度单位 6 个长度单位 5分
   A. 向左平移5π B. 向右平移5π C. 向左平移5π D. 向右平移5π
9. 9. 设奇函数f(x) 在(0, +∞) 上为增函数, 且f(1) = 0, 则不等式 f(x) −f(−x) x < 0 的解集为 ( ) 5分
   A. (−1, 0) ∪(1, +∞) B. (−∞, −1) ∪(0, 1) C. (−∞, −1) ∪(1, +∞) D. (−1, 0) ∪(0, 1)
10. 10. 若直线x ( ) a2 + 1 b2 ⩽1 a2 + 1 b2 ⩾1 5分
    A. + y B. = 1 通过点M(cos α, sin α), 则 A. a2 + b2 ⩽1 B. a2 + b2 ⩾1 C. 1 D. 1
11. 11. 已知三棱柱ABC−A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面ABC 内 的射影为△ABC 的中心, 则AB1 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) 3 (B) √ 2 3 (C) √ 3 3 3 5分
    A. 1 D. 2
12. 12. 如图, 一环形花坛分成A、B、C、D 四块, 现有4 种不同的花供选种, 要求 在每块里种1 种花, 且相邻的2 块种不同的花, 则不同的种法总数为( ) A D B C 5分
    A. 96 B. 84 C. 60 D. 48

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若x, y 满足约束条件        x + y ⩾0, x −y + 3 ⩾0, 0 ⩽x ⩽3, 则z = 2x −y 的最大值为 . 5分
2. 2. 已知抛物线y = ax2 −1 的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三 个交点为顶点的三角形面积为 . 5分
3. 3. 在△ABC 中, AB = BC, cos B = −7 18. 若以A、B 为焦点的椭圆经过点 C, 则该椭圆的离心率e = . 5分
4. 4. 等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB, 二面角C −AB −D 的余弦值为 √ 3 3 , M、N 分别是AC、BC 的中点, 则EM、AN 所成角的 余弦值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c, 且a cos B−b cos A = 3 5c. (1) 求tan A cot B 的值; (2) 求tan(A −B) 的最大值.
2. 2. 四棱锥A −BCDE 中, 底面BCDE 为矩形, 侧面ABC ⊥底面BCDE, BC = 2, CD = √ 2, AB = AC. (1) 证明: AD ⊥CE; (2) 设CE 与平面ABE 所成的角为45◦, 求二面角C −AD −E 的大小. C D E B A 433
3. 3. 已知函数f(x) = x3 + ax2 + x + 1, a ∈R. (1) 讨论函数f(x) 的单调区间; (2) 设函数f(x) 在区间 ( −2 3, −1 3 ) 内是减函数, 求a 的取值范围.
4. 4. 已知5 只动物中有1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定患病的动 物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病. 下面是两种化 验方案: 方案甲: 逐个化验, 直到能确定患病动物为止. 方案乙: 先任取3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明 患病动物为这3 只中的1 只, 然后再逐个化验, 直到能确定患病动物为止; 若结果呈阴性则在另外2 只中任取1 只化验. (1) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2) ξ 表示依方案乙所需化验次数, 求ξ 的期望.
5. 5. 双曲线的中心为原点O, 焦点在x 轴上, 两条渐近线分别为l1, l2, 经过右 焦点F 垂直于l1 的直线分别交l1, l2 于A, B 两点. 已知 # » OA 、 # » AB 、 # » OB  成等差数列, 且# » BF 与# » FA 同向. (1) 求双曲线的离心率; (2) 设AB 被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程.
6. 6. 设函数f(x) = x −x ln x. 数列{an} 满足0 < a1 < 1, an+1 = f(an). (1) 证明: 函数f(x) 在区间(0, 1) 是增函数; (2) 证明: an < an+1 < 1; (3) 设b ∈(a1, 1), 整数k ⩾a1 −b a1 ln b. 证明: ak+1 > b. 434

原卷配图（含真实几何/应用题图示）