2008年大纲2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年大纲2（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合M = {m ∈Z | −3 < m < 2}, N = {n ∈Z | −1 ⩽n ⩽3}, 则 M ∩N = ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {−1, 0, 1} C. {0, 1, 2} D. {−1, 0, 1, 2}
2. 2. 设a, b ∈R 且b̸ = 0, 若复数(a + bi)3 是实数, 则 ( ) 5分
   A. b2 = 3a2 B. a2 = 3b2 C. b2 = 9a2 D. a2 = 9b2
3. 3. 函数f(x) = 1 x −x 的图象关于 ( ) 5分
   A. y 轴对称 B. 直线y = −x 对称 C. 坐标原点对称 D. 直线y = x 对称
4. 4. 若x ∈(e−1, 1), a = ln x, b = 2 ln x, c = ln3x, 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a
5. 5. 设变量x, y 满足约束条件:        y ⩾x, x + 2y ⩽2, x ⩾−2, 则z = x −3y 的最小值 ( ) 5分
   A. −2 B. −4 C. −6 D. −8
6. 6. 从20 名男同学,10 名女同学中任选3 名参加体能测试, 则选到的3 名同学 中既有男同学又有女同学的概率为 ( ) 29 29 29 29 5分
   A. 9 B. 10 C. 19 D. 20
7. 7. (1 −√x) 6(1 + √x) 4 的展开式中x 的系数是 ( ) 5分
   A. −4 B. −3 C. 3 D. 4
8. 8. 若动直线x = a 与函数f(x) = sin x 和g(x) = cos x 的图象分别交于M、 N 两点, 则|MN| 的最大值为 ( ) (B) √ 2 (C) √ 3 5分
   A. 1 D. 2
9. 9. 设a > 1, 则双曲线x2 a2 − y2 ( ) (A) (√ 2, 2 ) (B) (√ 2, √ 5 ) (D) ( 2, √ 5 ) 5分
   A. + 1)2 = 1 的离心率e 的取值范围是 C. (2, 5)
10. 10. 已知正四棱锥S −ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是SB 的中点, 则AE, SD 所成的角的余弦值为 ( ) 3 (B) √ 2 3 (C) √ 3 3 3 5分
    A. 1 D. 2
11. 11. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x + y −2 = 0 与x −7y −4 = 0, 原点在等腰三角形的底边上, 则底边所在直线的斜率为 ( ) 3 2 5分
    A. 3 B. 2 C. −1 D. −1
12. 12. 已知球的半径为2, 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. 若两圆的公 共弦长为2, 则两圆的圆心距等于 ( ) (B) √ 2 (C) √ 3 5分
    A. 1 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设向量a = (1, 2), b = (2, 3). 若向量λa + b 与向量c = (−4, −7) 共线, 则λ = . 5分
2. 2. 设曲线y = eax 在点(0, 1) 处的切线与直线x + 2y + 1 = 0 垂直, 则 . 5分
   A. =
3. 3. 已知F 是抛物线C: y2 = 4x 的焦点, 过F 且斜率为1 的直线交C 于A、 . 5分
   B. 两点. 设|FA| > |FB|, 则|FA| 与|FB| 的比值等于
4. 4. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平 行, 类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, cos B = −5 13, cos C = 4 5. (1) 求sin A 的值; (2) 设△ABC 的面积S△ABC = 33 2 , 求BC 的长.
2. 2. 购买某种保险, 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元, 若投保人在 购买保险的一年度内出险, 则可以获得10000 元的赔偿金. 假定在一年度 内有10000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立. 已知保险 公司在一年度内至少支付赔偿金10000 元的概率为1 −0.999104. (1) 求一投保人在一年度内出险的概率p; (2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000 元, 为保证 盈利的期望不小于0, 求每位投保人应交纳的最低保费. (单位: 元)
3. 3. 如图, 正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB = 4, 点E 在CC1 上且C1E = 3EC. (1) 证明: A1C ⊥平面BED; (2) 求二面角A1 −DE −B 的大小. A B C D A1 E B1 C1 D1 437
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn. 已知a1 = a, an+1 = Sn + 3n, n ∈N∗. (1) 设bn = Sn −3n, 求数列{bn} 的通项公式; (2) 若an+1 ⩾an, n ∈N∗, 求a 的取值范围.
5. 5. 设椭圆中心在坐标原点, A(2, 0), B(0, 1) 是它的两个顶点, 直线y = kx (k > 0) 与AB 相交于点D, 与椭圆相交于E、F 两点. (1) 若# » ED = 6# » DF, 求k 的值; (2) 求四边形AEBF 面积的最大值.
6. 6. 设函数f(x) = sin x 2 + cos x. (1) 求f(x) 的单调区间; (2) 如果对任何x ⩾0, 都有f(x) ⩽ax, 求a 的取值范围. 438

原卷配图（含真实几何/应用题图示）