2008年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年天津（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合U = {x ∈N | 0 < x ⩽8}, S = {1, 2, 4, 5}, T = {3, 5, 7}, 则 S ∩ ( ∁UT ) = ( ) 5分
   A. {1, 2, 4} B. {1, 2, 3, 4, 5, 7} C. {1, 2} D. {1, 2, 4, 5, 6, 8}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + y ⩽1, x + 2y ⩾1, 则目标函数z = 5x + y 的最大值 为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 3. 函数y = 1 + √x (0 ⩽x ⩽4) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = (x −1)2 (1 ⩽x ⩽3) B. y = (x −1)2 (0 ⩽x ⩽4) C. y = x2 −1 (1 ⩽x ⩽3) D. y = x2 −1 (0 ⩽x ⩽4)
4. 4. 若等差数列{an} 的前5 项和S5 = 25, 且a2 = 3, 则a7 = ( ) 5分
   A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
5. 5. 设a, b 是两条直线, α, β 是两个平面, 则a ⊥b 的一个充分条件是 ( ) β, α ⊥β β β β, α ⊥β 5分
   A. a ⊥α, b B. a ⊥α, b ⊥β, α C. a ⊂α, b ⊥β, α D. a ⊂α, b
6. 6. 把函数y = sin x (x ∈R) 的图象上所有的点向左平行移动π 3 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变), 得到的 图象所表示的函数是 ( ) ( 2x −π 3 ) , x ∈R (x 2 + π 6 ) , x ∈R ( 2x + π 3 ) , x ∈R ( 2x + 2π 3 ) , x ∈R 5分
   A. y = sin B. y = sin C. y = sin D. y = sin
7. 7. 设椭圆x2 m2 + y2 n2 = 1 (m > 0, n > 0) 的右焦点与抛物线y2 = 8x 的焦点 相同, 离心率为1 2, 则此椭圆的方程为 ( ) 12 + y2 16 = 1 (B) x2 16 + y2 12 = 1 (C) x2 48 + y2 64 = 1 (D) x2 64 + y2 48 = 1 5分
   A. x2
8. 8. 已知函数f(x) = { x + 2, x ⩽0, −x + 2, x > 0, 则不等式f(x) ⩾x2 的解集为 ( ) 5分
   A. [−1, 1] B. [−2, 2] C. [−2, 1] D. [−1, 2]
9. 9. 设a = sin 5π 7 , b = cos 2π 7 , c = tan 2π 7 , 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. a < c < b C. b < c < a D. b < a < c
10. 10. 设a > 1, 若对于任意的x ∈[a, 2a], 都有y ∈[a, a2] 满足方程 logax + logay = 3, 这时a 的取值的集合为 ( ) (A) {a | 1 < a ⩽2} (C) {a | 2 ⩽a ⩽3} 5分
    B. {a | a ⩾2} D. {2, 3}

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 一个单位共有职工200 人, 其中不超过45 岁的有120 人, 超过45 岁的有 80 人. 为了调查职工的健康状况, 用分层抽样的方法从全体职工中抽取一 个容量为25 的样本, 应抽取超过45 岁的职工 人. 5分
2. 2. ( x + 2 x )5 的二项展开式中x3 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 若一个球的体积为4 √ 3π, 则它的表面积为 . 5分
4. 4. 已知平面向量a = (2, 4), b = (−1, 2), 若c = a −(a · b)b, 则|c| = . 5分
5. 5. 已知圆C 的圆心与点P(−2, 1) 关于直线y = x + 1 对称. 直线 3x + 4y −11 = 0 与圆C 相交于A, B 两点, 且|AB| = 6, 则圆C 的 方程为 . 5分
6. 6. 有4 张分别标有数字1, 2, 3, 4 的红色卡片和4 张分别标有数字1,2,3,4 的 蓝色卡片, 从这8 张卡片中取出4 张卡片排成一行. 如果取出的4 张卡片 所标的数字之和等于10, 则不同的排法共有 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 2cos2ωx + 2 sin ωx cos ωx + 1 (x ∈R, ω > 0) 的最小正 周期是π 2 . (1) 求ω 的值; (2) 求函数f(x) 的最大值, 并且求使f(x) 取得最大值的x 的集合.
2. 2. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球, 命中率分别为1 2 与p, 且乙投球2 次均未命中的概率为1 16. (1) 求乙投球的命中率p; (2) 求甲投球2 次, 至少命中1 次的概率; (3) 若甲、乙两人各投球2 次, 求两人共命中2 次的概率.
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形. 已知AB = 3, AD = 2, PA = 2, PD = 2 √ 2, ∠PAB = 60◦. (1) 证明AD ⊥平面PAB; (2) 求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (3) 求二面角P −BD −A 的大小. A B C D P 489
4. 4. 已知数列{an} 中, a1 = 1, a2 = 2, 且an+1 = (1 + q)an −qan−1 (n ⩾2, q̸ = 0). (1) 设bn = an+1 −an (n ∈N∗), 证明{bn} 是等比数列; (2) 求数列{an} 的通项公式; (3) 若a3 是a6 与a9 的等差中项, 求q 的值, 并证明: 对任意的n ∈N∗, an 是an+3 与an+6 的等差中项.
5. 5. 设函数f(x) = x4 + ax3 + 2x2 + b (x ∈R), 其中a, b ∈R. (1) 当a = −10 3 时, 讨论函数f(x) 的单调性; (2) 若函数f(x) 仅在x = 0 处有极值, 求a 的取值范围; (3) 若对于任意的a ∈[−2, 2], 不等式f(x) ⩽1 在[−1, 1] 上恒成立, 求b 的取值范围.
6. 6. 已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F1 (−3, 0), 一条渐近线的方程 是 √ 5x −2y = 0. (1) 求双曲线C 的方程; (2) 若以k (k̸ = 0) 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M, N, 线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81 2 , 求k 的取值范围. 490

原卷配图（含真实几何/应用题图示）