2008年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年天津（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, i3 (i + 1) i −1 = ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. −i D. i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + y ⩽1, x + 2y ⩾1, 则目标函数z = 5x + y 的最大值 为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 3. 设函数f (x) = sin ( 2x −π 2 ) , x ∈R, 则f (x) 是 ( ) 2 的奇函数 2 的偶函数 5分
   A. 最小正周期为π 的奇函数 B. 最小正周期为π 的偶函数 C. 最小正周期为π D. 最小正周期为π
4. 4. 设a, b 是两条直线, α, β 是两个平面, 则a ⊥b 的一个充分条件是 ( ) β, α ⊥β β β β, α ⊥β 5分
   A. a ⊥α, b B. a ⊥α, b ⊥β, α C. a ⊂α, b ⊥β, α D. a ⊂α, b
5. 5. 设椭圆x2 m2 + y2 m2 −1 = 1 (m > 1) 上一点P 到其左焦点的距离为3, 到右 焦点的距离为1, 则P 点到右准线的距离为 ( ) 2 √ 7 7 5分
   A. 6 B. 2 C. 1 D. 2
6. 6. 设集合S = {x | |x −2| > 3}, T = {x | a < x < a + 8}, S ∪T = R, 则a 的取值范围是 ( ) 5分
   A. −3 < a < −1 B. −3 ⩽a ⩽−1 C. a ⩽−3 或a ⩾−1 D. a < −3 或a > −1
7. 7. 设函数f (x) = 1 1 −√x (0 ⩽x < 1) 的反函数为f −1 (x), 则 ( ) 5分
   A. f −1 (x) 在其定义域上是增函数且最大值为1 B. f −1 (x) 在其定义域上是减函数且最小值为0 C. f −1 (x) 在其定义域上是减函数且最大值为1 D. f −1 (x) 在其定义域上是增函数且最小值为0
8. 8. 已知函数f (x) = { −x + 1, x < 0, x −1, x ⩾0, 则不等式x + (x + 1) f (x + 1) ⩽1 的解集是 ( ) (A) { x  −1 ⩽x ⩽ √ 2 −1 } (C) { x  x ⩽ √ 2 −1 } (D) { x  − √ 2 −1 ⩽x ⩽ √ 2 −1 } 5分
   B. {x | x ⩽1}
9. 9. 已知函数f (x) 是R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞) 上是增函数. 令 ( sin 2π 7 ) , b = f ( cos 5π 7 ) , c = f ( tan 5π 7 ) , 则 ( ) 5分
   A. = f A. b < a < c B. c < b < a C. b < c < a D. a < b < c
10. 10. 有8 张卡片分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 从中取出6 张卡片排成3 行2 列, 要求3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5, 则不同的 排法共有 ( ) 5分
    A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. ( x −2 √x )5 的二项展开式中, x2 的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 一个正方体的各定点均在同一球的球面上, 若该球的体积为4 √ 3π, 则该正 方体的表面积为 . 5分
3. 3. 已知圆C 的圆心与抛物线y2 = 4x 的焦点关于直线y = x 对称. 直线 4x −3y −2 = 0 与圆C 相交于A, B 两点, 且|AB| = 6, 则圆C 的方程 为 . 5分
4. 4. 如图, 在平行四边形ABCD 中, # » AC = (1, 2), # » BD = (−3, 2), 则# » AD · # » AC = . A B C D 5分
5. 5. 已知数列{an} 中, a1 = 1, an+1 −an = 1 3n+1 (n ∈N∗), 则 lim n→∞an = . 5分
6. 6. 设a > 1, 若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a, 2a], 都有y ∈[a, a2] 满足方程logax + logay = c, 这时, a 的取值的集合为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知cos ( x −π 4 ) = √ 2 10 , x ∈ (π 2 , 3π 4 ) . (1) 求sin x 的值; (2) 求sin ( 2x + π 3 ) 的值.
2. 2. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球, 命中率分别为1 2 与p, 且乙投球2 次均未命中的概率为1 16. (1) 求乙投球的命中率p; (2) 若甲投球1 次, 乙投球2 次, 两人共命中的次数记为ξ, 求ξ 的分布列 和数学期望.
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形. 已知AB = 3, AD = 2, PA = 2, PD = 2 √ 2, ∠PAB = 60◦. (1) 证明AD ⊥平面PAB; (2) 求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (3) 求二面角P −BD −A 的大小. A B C D P 487
4. 4. 已知函数f (x) = x + a x + b (x̸ = 0), 其中a, b ∈R. (1) 若曲线y = f (x) 在点P (2, f (2)) 处的切线方程为y = 3x + 1, 求函数 (2) 讨论函数f (x) 的单调性; (3) 若对于任意的a ∈ [1 2, 2 ] , 不等式f (x) ⩽10 在 [1 4, 1 ] 上恒成立, 求b 的取值范围.
5. 5. 已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F1 (−3, 0), 一条渐近线的方程 是 √ 5x −2y = 0. (1) 求双曲线C 的方程; (2) 若以k (k̸ = 0) 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M, N, 线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81 2 , 求k 的取值范围.
6. 6. 在数列{an} 与{bn} 中, a1 = 1, b1 = 4, 数列{an} 的前n 项和Sn 满足 nSn+1 −(n + 3) Sn = 0, 2an+1 为bn 与bn+1 的等比中项, n ∈N∗. (1) 求a2, b2 的值; (2) 求数列{an} 与{bn} 中的通项公式; (3) 设Tn = (−1)a1b1+(−1)a2b2+· · ·+(−1)anbn, n ∈N∗, 证明|Tn| < 2n2, n ⩾3. 488

原卷配图（含真实几何/应用题图示）