本卷为官方高考数学真题（2008年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 满足M ⊆{a1, a2, a3, a4}, 且M ∩{a1, a2, a3} = {a1, a2} 的集合M 的
个数是
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
2. 设z 的共轭复数是z, 或z + z = 4, z · z = 8, 则z
z 等于
(
) 5分
A. i
B. −i
C. ±1
D. ±i
-
3. 函数y = ln cos x
(
−π
2 < x < π
2
)
的图象是
(
)
(A)
x
y
O
−π
2
π
2
(B)
x
y
O
−π
2
π
2
(C)
x
y
O
−π
2
π
2
(D)
x
y
O
−π
2
π
2 5分
-
4. 给出命题: 若函数y = f(x) 是幂函数, 则函数y = f(x) 的图象不过第四
象限. 在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题的个数是(
) 5分
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
-
5. 设函数f(x) =
{
1 −x2,
x ⩽1,
x2 + x −2,
x > 1,
则f
(
1
f(2)
)
的值为
(
)
16
16
9 5分
A. 15
B. −27
C. 8
D. 18
-
6. 如图是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是(
)
正(主) 视图
侧(左) 视图
俯视图
2
3
2
2 5分
A. 9π
B. 10π
C. 11π
D. 12π
-
7. 不等式
x + 5
(x −1)2 ⩾2 的解集是
(
)
(A)
[
−3, 1
2
]
(B)
[
−1
2, 3
]
(C)
[1
2, 1
)
∪(1, 3]
(D)
[
−1
2, 1
)
∪(1, 3] 5分
-
8. 已知a, b, c 为△ABC 的三个内角A, B, C 的对边, 向量m = (
√
3, −1),
n = (cos A, sin A). 若m ⊥n, 且a cos B + b cos A = c sin C, 则角A, B 的
大小分别为
(
)
6 , π
3
3 , π
6
3 , π
6
3 , π
3 5分
A. π
B. 2π
C. π
D. π
-
9. 从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩, 统计如表, 则这100 人成绩的
标准差为
(
)
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
(A)
√
3
√
10
5
5 5分
B. 2
C. 3
D. 8
-
10. 已知cos
(
α −π
6
)
+ sin α = 4
5
√
3, 则sin
(
α + 7π
6
)
的值是
(
)
√
3
5
√
3
5
5
5 5分
A. −2
B. 2
C. −4
D. 4
-
11. 若圆C 的半径为1, 圆心在第一象限, 且与直线4x −3y = 0 和x 轴相切,
则该圆的标准方程是
(
)
(
y −7
3
)2
= 1
(D)
(
x −3
2
)2
+ (y −1)2 = 1 5分
A. (x −3)2 +
B. (x −2)2 + (y −1)2 = 1
C. (x −1)2 + (y −3)2 = 1
-
12. 已知函数f(x) = loga(2x + b −1) (a > 0, a̸ = 1) 的图象如图所示, 则a, b
满足的关系是
(
)
x
y
O
−1 5分
A. 0 < a−1 < b < 1
B. 0 < b < a−1 < 1
C. 0 < b−1 < a < −1
D. 0 < a−1 < b−1 < 1
-
1. 已知函数f(x) =
√
3 sin(ωx + φ) −cos(ωx + φ) (0 < φ < π, ω > 0) 为偶
函数, 且函数y = f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为π
2 .
(1) 求f
(π
8
)
的值;
(2) 将函数y = f(x) 的图象向右平移π
6 个单位后, 得到函数y = g(x) 的
图象, 求g(x) 的单调递减区间.
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2. 现有8 名奥运会志愿者, 其中志愿者A1、A2、A3 通晓日语, B1、B2、B3
通晓俄语, C1、C2 通晓韩语. 从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各
1 名, 组成一个小组.
(1) 求A1 被选中的概率;
(2) 求B1 和C1 不全被选中的概率.
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3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 平面PAD ⊥平面ABCD, AB
DC,
△PAD 是等边三角形, 已知BD = 2AD = 8, AB = 2DC = 4
√
5.
(1) 设M 是PC 上的一点, 证明: 平面MBD ⊥平面PAD;
(2) 求四棱锥P −ABCD 的体积.
A
M
C
P
B
D
-
4. 将数列{an} 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
· · · · · ·
记表中的第一列数a1, a2, a4, a7, · · · 构成的数列为{bn}, b1 = a1 = 1. Sn
为数列{bn} 的前n 项和, 且满足
2bn
bnSn −S2
n
= 1 (n ⩾2).
(1) 证明数列
{ 1
Sn
}
成等差数列, 并求数列{bn} 的通项公式;
(2) 上表中, 若从第三行起, 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数
列, 且公比为同一个正数. 当a81 = −4
91 时, 求上表中第k (k ⩾3) 行所有
项和的和.
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5. 设函数f(x) = x2ex−1 + ax3 + bx2, 已知x = −2 和x = 1 为f(x) 的极值
点.
(1) 求a 和b 的值;
(2) 讨论f(x) 的单调性;
(3) 设g(x) = 2
3x3 −x2, 试比较f(x) 与g(x) 的大小.
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6. 已知曲线C1: |x|
√
5,
曲线C1 的内切圆半径为2
√
5
3 . 记C2 为以曲线C1 与坐标轴的交点为顶
点的椭圆.
(1) 求椭圆C2 的标准方程;
(2) 设AB 是过椭圆C2 中心的任意弦, l 是线段AB 的垂直平分线. M 是
l 上异于椭圆中心的点.
①若|MO| = λ |OA| (O 为坐标原点), 当点A 在椭圆C2 上运动时,
求点M 的轨迹方程;
②若M 是l 与椭圆C2 的交点, 求△AMB 的面积的最小值.
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