2008年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 第二〸九届夏季奥林匹克运动会将于2008 年8 月8 日在北京举行, 若集 合A = {参加北京奥运会比赛的运动员}, 集合B = {参加北京奥运会比赛 的男运动员}, 集合C = {参加北京奥运会比赛的女运动员}, 则下列关系正 确的是 ( ) 5分
   A. A ⊆B B. B ⊆C C. A ∩B = C D. B ∪C = A
2. 2. 已知0 < a < 2, 复数z = a + i (i 是虚数单位), 则|z| 的取值范围是 ( ) √ 3) √ 5) 5分
   A. (1, B. (1, C. (1, 3) D. (1, 5)
3. 3. 已知平面向量a = (1, 2), b = (−2, m), 且a b, 则2a + 3b= ( ) 5分
   A. (−2, −4) B. (−3, −6) C. (−4, −8) D. (−5, −10)
4. 4. 记等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S2 = 4, S4 = 20, 则该数列的公差 ( ) 5分
   D. = A. 7 B. 6 C. 3 D. 2
5. 5. 已知函数f(x) = (1 + cos 2x)sin2x, x ∈R, 则f(x) 是 ( ) 2 的奇函数 2 的偶函数 5分
   A. 最小正周期为π 的奇函数 B. 最小正周期为π 的偶函数 C. 最小正周期为π D. 最小正周期为π
6. 6. 经过圆x2 + 2x + y2 = 0 的圆心C, 且与直线x + y = 0 垂直的直线方程 是 ( ) 5分
   A. x −y + 1 = 0 (B) x −y −1 = 0 (C) x + y −1 = 0 (D) x + y + 1 = 0
7. 7. 将正三棱柱截去三个角(如图1 所示A, B, C 分别是△GHI 三边的中 点) 得到几何体如图2, 则该几何体按图2 所示方向的侧视图(或称左视 图) 为 ( ) E A F I D G C B H 图1 侧视 E A F D C B 图2 B B B B 5分
   A. E B. E C. E D. E
8. 8. 命题“若函数f(x) = logax (a > 0, a̸ = 1) 在其定义域内是减函数, 则 loga2 < 0”的逆否命题是 ( ) 减函数 减函数 函数 函数 5分
   A. 若loga2 < 0, 则函数f(x) = logax (a > 0, a̸ = 1) 在其定义域内不是 B. 若loga2 ⩾0, 则函数f(x) = logax (a > 0, a̸ = 1) 在其定义域内不是 C. 若loga2 < 0, 则函数f(x) = logax (a > 0, a̸ = 1) 在其定义域内是减 D. 若loga2 ⩾0, 则函数f(x) = logax (a > 0, a̸ = 1) 在其定义域内是减
9. 9. 设a ∈R, 若函数y = ex + ax, x ∈R 有大于零的极值点, 则 ( ) e e 5分
   A. a < −1 B. a > −1 C. a > −1 D. a < −1
10. 10. 设a, b ∈R, 若a −|b| > 0, 则下列不等式中正确的是 ( ) 5分
    A. b −a > 0 B. a3 + b3 < 0 C. b + a > 0 D. a2 −b2 < 0

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了20 位工人某天生产 该产品的数量. 产品数量的分组区间为[45, 55), [55, 65), [65, 75), [75, 85), [85, 95), 由此得到频率分布直方图如图, 则这20 名工人中一天生产该产品 数量在[55, 75) 的人数是 . 频率 组距 0 产品数量 0.020 0.040 0.025 0.010 0.005 0.015 0.030 0.035 45 55 65 75 85 95 5分
2. 2. 若变量x, y 满足              2x + y ⩽40, x + 2y ⩽50, x ⩾0, y ⩾0, 则z = 3x + 2y 的最大值是 . 5分
3. 3. 阅读如图的程序框图. 若输入m = 4, n = 3, 则输出a = , i = . (注: 框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”) 开始 输入m, n i = 1 n 整除a? i = i + 1 输出a, i 结束 是 否 5分
   A. = m × i
4. 4. 已知曲线C1, C2 的极坐标方程分别为ρ cos θ = 3, ρ = 4 cos θ (ρ ⩾0, 0 ⩽θ < π 2 ), 则曲线C1 与C2 交点的极坐标为 . 5分
5. 5. 已知PA 是圆O 的切线, 切点为A, PA = 2. AC 是圆O 的直径, PC 与 圆O 交于点B, PB = 1, 则圆O 的半径R = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = A sin(x + φ) (A > 0, 0 < φ < π), x ∈R 的最大值是1, 其图象经过点M (π 3 , 1 2 ) . (1) 求f(x) 的解析式; (2) 已知α, β ∈ ( 0, π 2 ) , 且f(α) = 3 5, f(β) = 12 13, 求f(α −β) 的值. 447
2. 2. 某单位用2160 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少10 层、 每层2000 平方米的楼房. 经测算, 如果将楼房建为x (x ⩾10) 层, 则每平 方米的平均建筑费用为560 + 48x (单位: 元). 为了使楼房每平方米的平均 综合费用最少, 该楼房应建为多少层? (注: 平均综合费用= 平均建筑费用+ 平均购地费用, 平均购地费用 = 购地总费用 建筑总面积)
3. 3. 如图所示, 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接 四边形, 其中BD 是圆的直径, ∠ABD = 60◦, ∠BDC = 45◦. △ADP ∼ △BAD. (1) 求线段PD 的长; (2) 若PC = √ 11R, 求三棱锥P −ABC 的体积. P A B C D
4. 4. 某初级中学共有学生2000 名, 各年级男、女生人数如下表: 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1 名, 抽到初二年级女生的概率是0.19 . (1) 求x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取48 名学生, 问应在初三年级抽取多少 名? (3) 已知y ⩾245, z ⩾245, 求初三年级中女生比男生多的概率.
5. 5. 设b > 0, 椭圆方程为x2 2b2 + y2 b2 = 1, 抛物线方程为x2 = 8(y −b). 如图 所示, 过点F(0, b + 2) 作x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为G. 已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F1. (1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) 设A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P, 使得△ABP 为直角三角形? 若存在, 请指出共有几个这样的点? 并说 明理由(不必具体求出这些点的坐标). x y O A G B F1 F
6. 6. 设数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 2, an = 1 3(an−1 + 2an−2) (n = 3, 4, · · · ). 数列{bn} 满足b1 = 1, bn (n = 2, 3, · · · ) 是非零整数, 且对任意的正整数 m 和自然数k, 都有−1 ⩽bm + bm+1 + · · · + bm+k ⩽1. (1) 求数列{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 若cn = nanbn (n = 1, 2, · · · ), 求数列{cn} 的前n 项和Sn. 448

原卷配图（含真实几何/应用题图示）