2008年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知0 < a < 2, 复数z 的实部为a, 虚部为1, 则|z| 的取值范围是 ( ) √ 5) √ 3) 5分
   A. (1, 5) B. (1, 3) C. (1, D. (1,
2. 2. 记等差数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a1 = 1 2, S4 = 20, 则S6 = ( ) 5分
   A. 16 B. 24 C. 36 D. 48
3. 3. 某校共有学生2000 名, 各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随 机抽取1 名, 抽到二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校 抽取64 名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为 ( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 5分
   A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
4. 4. 若变量x, y 满足              2x + y ⩽40, x + 2y ⩽50, x ⩾0, y ⩾0, 则z = 3x + 2y 的最大值是 ( ) 5分
   A. 90 B. 80 C. 70 D. 40
5. 5. 将正三棱柱截去三个角(如图1 所示A, B, C 分别是△GHI 三边的中 点) 得到几何体如图2, 则该几何体按图2 所示方向的侧视图(或称左视 图) 为 ( ) E A F I D G C B H 图1 侧视 E A F D C B 图2 B B B B 5分
   A. E B. E C. E D. E
6. 6. 已知命题p: 所有有理数都是实数, 命题q: 正数的对数都是负数, 则下列 命题中为真命题的是 ( ) 5分
   A. (¬p) ∨q B. p ∧q C. (¬p) ∧(¬q) D. (¬p) ∨(¬q)
7. 7. 设a ∈R, 若函数y = eax + 3x, x ∈R 有大于零的极值点, 则 ( ) 3 3 5分
   A. a > −3 B. a < −3 C. a > −1 D. a < −1
8. 8. 在平行四边形ABCD 中, AC 与BD 交于点O, E 是线段OD 的中点, AE 的延长线与CD 交于点F. 若# » AC = a, # » BD = b, 则# » AF = ( ) 4a + 1 2b 3a + 1 3b 2a + 1 4b 3a + 2 3b 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 阅读如图的程序框图. 若输入m = 4, n = 6, 则输出a = , i = . (注: 框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“: =”) 开始 输入m, n i = 1 n 整除a? i = i + 1 输出a, i 结束 是 否 5分
   A. = m × i
2. 2. 已知(1 + kx2) 6 (k 是正整数) 的展开式中, x8 的系数小于120, 则 k = . 5分
3. 3. 经过圆x2 + 2x + y2 = 0 的圆心C, 且与直线x + y = 0 垂直的直线方程 是 . 5分
4. 4. 已知函数f(x) = (sin x −cos x) sin x, x ∈R, 则f(x) 的最小正周期 是 . 5分
5. 5. 已知曲线C1, C2 的极坐标方程分别为ρ cos θ = 3, ρ = 4 cos θ (ρ ⩾0, 0 ⩽θ < π 2 ), 则曲线C1 与C2 交点的极坐标为 . 5分
6. 6. 已知a ∈R, 若关于x 的方程x2 + x + 4  + |a| = 0 有实根, 则a 的 取值范围是 . 5分
   A. −1
7. 7. 已知PA 是圆O 的切线, 切点为A, PA = 2. AC 是圆O 的直径, PC 与 圆O 交于点B, PB = 1, 则圆O 的半径R = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = A sin(x + φ) (A > 0, 0 < φ < π), x ∈R 的最大值是1, 其图象经过点M (π 3 , 1 2 ) . (1) 求f(x) 的解析式; (2) 已知α, β ∈ ( 0, π 2 ) , 且f(α) = 3 5, f(β) = 12 13, 求f(α −β) 的值.
2. 2. 随机抽取某厂的某种产品200 件, 经质检, 其中有一等品126 件、二等品 50 件、三等品20 件、次品4 件. 已知生产1 件一、二、三等品获利分别 为6 万元、2 万元、1 万元, 而1 件次品亏损2 万元, 设1 件产品的利润 (单位: 万元) 为ξ. (1) 求ξ 的分布列; (2) 求1 件产品的平均利润(即ξ 的数学期望); (3) 经技术革新后, 仍有四个等级的产品, 但次品率降为1%, 一等品率提高 为70%. 如果此时要求1 件产品的平均利润不小于4.73 万元, 则三等品率 最多是多少? 445
3. 3. 设b > 0, 椭圆方程为x2 2b2 + y2 b2 = 1, 抛物线方程为x2 = 8(y −b). 如图 所示, 过点F(0, b + 2) 作x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为G. 已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F1. (1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) 设A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P, 使得△ABP 为直角三角形? 若存在, 请指出共有几个这样的点? 并说 明理由(不必具体求出这些点的坐标). x y O A G B F1 F
4. 4. 设k ∈R, 函数f(x) =    1 1 −x, x < 1, − √ x −1, x ⩾1, F(x) = f(x) −kx, x ∈R. 试讨论函数F(x) 的单调性.
5. 5. 如图所示, 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四 边形, 其中BD 是圆的直径, ∠ABD = 60◦, ∠BDC = 45◦. PD 垂直底面 ABCD, PD = 2 √ 2R. E, F 分别是PB, CD 上的点, 且PE EB = DF FC , 过 点E 作BC 的平行线交PC 于G. (1) 求BD 与平面ABP 所成角θ 的正切值; (2) 证明: △EFG 是直角三角形; (3) 当PE EB = 1 2 时, 求△EFG 的面积. P E F G A B C D
6. 6. 已知p, q 是实数, α, β 为方程x2 −px + q = 0 的两个实根, 数列{xn} 满 足x1 = p, x2 = p2 −q, xn = pxn−1 −qxn−2 (n = 3, 4, · · · ). (1) 证明: α + β = p, αβ = q; (2) 求数列{xn} 的通项公式; (3) 若p = 1, q = 1 4, 求{xn} 的前n 项和Sn. 446

原卷配图（含真实几何/应用题图示）