2008年新课标卷（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年新课标卷（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {x | (x + 2)(x −1) < 0}, N = {x | x + 1 < 0}, 则M ∩ N = ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (−2, 1) C. (−2, −1) D. (1, 2)
2. 2. 双曲线x2 10 −y2 2 = 1 的焦距为 ( ) √ 2 √ 2 √ 3 √ 3 5分
   A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
3. 3. 已知复数z = 1 −i, 则 z2 z −1 = ( ) 5分
   A. 2 B. −2 C. 2i D. −2i
4. 4. 设f(x) = x ln x, 若f ′(x0) = 2, 则x0 = ( ) 2 5分
   A. e2 B. e C. ln 2 D. ln 2
5. 5. 已知平面向量a = (1, −3), b = (4, −2), λa + b 与a 垂直, 则λ = ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. −2 D. 2
6. 6. 下面的程序框图, 如果输入三个实数a, b, c, 要求输出这三个数中最大的 数, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) 开始 输入a, b, c x = a x = b x = c 输出x 结束 否 否 是 是 5分
   B. > x A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c
7. 7. 已知a1 > a2 > a3 > 0, 则使得(1 −aix)2 < 1 (i = 1, 2, 3) 都成立的x 取 值范围是 ( ) (A) ( 0, 1 a1 ) (B) ( 0, 2 a1 ) (C) ( 0, 1 a3 ) (D) ( 0, 2 a3 ) 5分
8. 8. 设等比数列{an} 的公比q = 2, 前n 项和为Sn, 则S4 a2 = ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. 4 C. 15 D. 17
9. 9. 平面向量a,b 共线的充要条件是 ( ) 5分
   A. a, b 方向相同 B. a, b 两向量中至少有一个为零向量 C. ∃λ ∈R, b = λa D. 存在不全为零的实数λ1, λ2, λ1a + λ2b = 0
10. 10. 点P(x, y) 在直线4x + 3y = 0 上, 且x, y 满足−14 ⩽x −y ⩽7, 则点P 到坐标原点距离的取值范围是 ( ) 5分
    A. [0, 5] B. [0, 10] C. [5, 10] D. [5, 15]
11. 11. 函数f(x) = cos 2x + 2 sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) 2 2 5分
    A. −1, 1 B. −2, 2 C. −3, 3 D. −2, 3
12. 12. 已知平面α ⊥平面β, α ∩β = l, 点A ∈α, A /∈l, 直线AB l, 直线 AC ⊥l, 直线m α, m β, 则下列四种位置关系中, 不一定成立的是( ) m β 5分
    A. AB B. AC ⊥m C. AB D. AC ⊥β

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知{an} 为等差数列, a3 + a8 = 22, a6 = 7, 则a5 = . 5分
2. 2. 一个六棱柱的底面是正六边形, 其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都 在同一个球面上, 且该六棱柱的高为 √ 3, 底面周长为3, 则这个球的体积 为 . 5分
3. 3. 过椭圆x2 5 + y2 4 = 1 的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于AB 两 点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为 . 5分
4. 4. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25 根棉花的纤维长度(单位: mm), 结 果如下: 甲品种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图, 对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较, 写出两个统计结 论: ① ; ② . 5分

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 如图, △ACD 是等边三角形, △ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB = 90◦, BD 交AC 于E, AB = 2. (1) 求cos ∠CBE 的值; (2) 求AE. A E B C D
2. 2. 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它的正视图和俯视图在下面画出(单位: cm). (1) 在正视图下面, 按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2) 按照给出的尺寸, 求该多面体的体积; (3) 在所给直观图中连结BC′, 证明: BC′ 面EFG. A B C D E F B′ C′ D′ G (正视图) 2 6 4 4 (侧视图) 2 2 469
3. 3. 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况, 调查 部门对某校6 名学生进行问卷调查.6 人得分情况如下: 5, 6, 7, 8, 9, 10. 把 这6 名学生的得分看成一个总体. (1) 求该总体的平均数; (2) 用简单随机抽样方法从这6 名学生中抽取2 名, 他们的得分组成一个 样本. 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5 的概率.
4. 4. 已知m ∈R, 直线l: mx−(m2+1)y = 4m 和圆C: x2+y2−8x+4y+16 = 0. (1) 求直线l 斜率的取值范围; (2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为1 2 的两段圆弧? 为什么?
5. 5. 设函数f(x) = ax −b x, 曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的切线方程为 7x −4y −12 = 0. (1) 求f(x) 的解析式; (2) 证明: 曲线y = f(x) 上任一点处的切线与直线x = 0 和直线y = x 所 围成的三角形面积为定值, 并求此定值.
6. 6. 如图, 过圆O 外一点M 作它的一条切线, 切点为A, 过A 点作直线AP 垂直直线OM, 垂足为P. (1) 证明: OM · OP = OA2; (2) N 为线段AP 上一点, 直线NB 垂直直线ON, 且交圆O 于B 点. 过 A P B K O M N
7. 7. 已知曲线C1: { x = cos θ, y = sin θ, (θ 为参数), 曲线C2:        x = √ 2 2 t − √ 2, y = √ 2 2 t, (t 为参 数). (1) 指出C1, C2 各是什么曲线, 并说明C1 与C2 公共点的个数; (2) 若把C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线C1 ′, C2 ′. 写出C1 ′, C2 ′ 的参数方程. C1 ′ 与C2 ′ 公共点的个数和C1 与C2 公共 点的个数是否相同? 说明你的理由. 470

原卷配图（含真实几何/应用题图示）