本卷为官方高考数学真题（2008年新课标卷（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知函数y = 2 sin(ωx + φ) (ω > 0) 在区间[0, 2π] 的图象如图, 那么
ω =
(
)
x
1
2π
y
1
O
2
3 5分
A. 1
B. 2
C. 1
D. 1
-
2. 已知复数z = 1 −i, 则z2 −2z
z −1
=
(
) 5分
A. 2i
B. −2i
C. 2
D. −2
-
3. 如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍, 那么它的顶角的余弦值为
(
)
18
4
(C)
√
3
2
8 5分
A. 5
B. 3
D. 7
-
4. 设等比数列{an} 的公比q = 2, 前n 项和为Sn, 则S4
a2
=
(
)
2
2 5分
A. 2
B. 4
C. 15
D. 17
-
5. 下面的程序框图, 如果输入三个实数a, b, c, 要求输出这三个数中最大的
数, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的
(
)
开始
输入a, b, c
x = a
x = b
x = c
输出x
结束
否
否
是
是 5分
B. > x
A. c > x
B. x > c
C. c > b
D. b > c
-
6. 已知a1 > a2 > a3 > 0, 则使得(1 −aix)2 < 1 (i = 1, 2, 3) 都成立的x 取
值范围是
(
)
(A)
(
0, 1
a1
)
(B)
(
0, 2
a1
)
(C)
(
0, 1
a3
)
(D)
(
0, 2
a3
) 5分
-
7. 3 −sin 70◦
2 −cos210◦=
(
)
2
(B)
√
2
2
(D)
√
3
2 5分
A. 1
C. 2
-
8. 平面向量a,b 共线的充要条件是
(
) 5分
A. a, b 方向相同
B. a, b 两向量中至少有一个为零向量
C. ∃λ ∈R, b = λa
D. 存在不全为零的实数λ1, λ2, λ1a + λ2b = 0
-
9. 甲、乙、丙3 位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动, 要
求每人参加一天且每天至多安排一人, 并要求甲安排在另外两位前面. 不
同的安排方法共有
(
) 5分
A. 20 种
B. 30 种
C. 40 种
D. 60 种
-
10. 由直线x = 1
2, x = 2, 曲线y = 1
x 及x 轴所围图形的面积为
(
)
4
4
2 ln 2 5分
A. 15
B. 17
C. 1
D. 2 ln 2
-
11. 已知点P 在抛物线y2 = 4x 上, 那么点P 到点Q(2, −1) 的距离与点P 到
抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点P 的坐标为
(
)
(A)
(1
4, −1
)
(B)
(1
4, 1
) 5分
C. (1, 2)
D. (1, −2)
-
12. 某几何体的一条棱长为
√
7, 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为
√
6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为a
和b 的线段, 则a + b 的最大值为
(
)
√
2
√
3
√
5 5分
A. 2
B. 2
C. 4
D. 2
-
1. 已知向量a = (0, −1, 1), b = (4, 1, 0), |λa + b| =
√
29 且λ > 0, 则
λ =
. 5分
-
2. 设双曲线x2
9 −y2
16 = 1 的右顶点为A, 右焦点为F. 过点F 平行双曲线的
一条渐近线的直线与双曲线交于点B, 则△AFB 的面积为
. 5分
-
3. 一个六棱柱的底面是正六边形, 其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都
在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为9
8, 底面周长为3, 则这个球的体积
为
. 5分
-
4. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25 根棉花的纤维长度(单位: mm), 结
果如下:
甲品种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314
319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322
324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
甲
乙
3
1
27
7
5
5
0
28
4
5
4
2
29
2
5
8
7
3
3
1
30
4
6
7
9
4
0
31
2
3
5
5
6
8
8
8
5
5
3
32
0
2
2
4
7
9
7
4
1
33
1
3
6
7
34
3
2
35
6
根据以上茎叶图, 对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较, 写出两个统计结
论:
①
;
②
. 5分
-
1. 已知{an} 是一个等差数列, 且a2 = 1, a5 = −5.
(1) 求{an} 的通项an;
(2) 求{an} 前n 项和Sn 的最大值.
-
2. 如图, 已知点P 在正方体ABCD−A′B′C′D′ 的对角线BD′ 上, ∠PDA =
60◦.
(1) 求DP 与CC′ 所成角的大小;
(2) 求DP 与平面AA′D′D 所成角的大小.
A
B
C
D
A′
P
B′
C′
D′
467
-
3. A, B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X1 和X2. 根据市场分析,
X1 和X2 的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1) 在A, B 两个项目上各投资100 万元, Y1 和Y2 分别表示投资项目A
和B 所获得的利润, 求方差DY1, DY2;
(2) 将x (0 ⩽x ⩽100) 万元投资A 项目, 100 −x 万元投资B 项目, f(x)
表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和. 求
f(x) 的最小值, 并指出x 为何值时, f(x) 取到最小值.
(注: D(aX + b) = a2DX)
-
4. 在直角坐标系xOy 中, 椭圆C1: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分
别为F1、F2, F2 也是抛物线C2: y2 = 4x 的焦点, 点M 为C1 与C2 在第
一象限的交点, 且|MF2| = 5
3.
(1) 求C1 的方程;
(2) 平面上的点N 满足# »
MN = # »
MF1 + # »
MF2, 直线l
MN, 且与C1 交于
OA · # »
OB = 0, 求直线l 的方程.
-
5. 设函数f(x) = ax +
1
x + b (a, b ∈Z), 曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的
切线方程为y = 3.
(1) 求f(x) 的解析式;
(2) 证明: 函数y = f(x) 的图象是一个中心对称图形, 并求其对称中心;
(3) 证明: 曲线y = f(x) 上任一点的切线与直线x = 1 和直线y = x 所围
三角形的面积为定值, 并求出此定值.
-
6. 如图, 过圆O 外一点M 作它的一条切线, 切点为A, 过A 点作直线AP
垂直直线OM, 垂足为P.
(1) 证明: OM · OP = OA2;
(2) N 为线段AP 上一点, 直线NB 垂直直线ON, 且交圆O 于B 点. 过
A
P
B
K
O
M
N
-
7. 已知曲线C1:
{
x = cos θ,
y = sin θ,
(θ 为参数), 曲线C2:
x =
√
2
2 t −
√
2,
y =
√
2
2 t,
(t 为参
数).
(1) 指出C1, C2 各是什么曲线, 并说明C1 与C2 公共点的个数;
(2) 若把C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线C1
′,
C2
′. 写出C1
′, C2
′ 的参数方程. C1
′ 与C2
′ 公共点的个数和C1 与C2 公
共点的个数是否相同? 说明你的理由.
-
8. 已知函数f(x) = |x −8| −|x −4|.
(1) 作出函数y = f(x) 的图象;
(2) 解不等式|x −8| −|x −4| > 2.
x
O
1
y
1
468
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