2008年江苏

本卷为官方高考数学真题（2008年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 若函数f(x) = cos ( ωx −π 6 ) (ω > 0) 最小正周期为π 5 , 则ω = . 5分
2. 2. 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6 个点的正 方体玩具) 先后抛掷2 次, 则出现向上的点数之和为4 的概率是 . 5分
3. 3. 若将复数1 + i 1 −i 表示为a + bi (a, b ∈R, i 是虚数单位) 的形式, 则 . 5分
   A. + b =
4. 4. 设集合A = { x  (x −1)2 < 3x + 7, x ∈R } , 则集合A ∩Z 中有 个 元素. 5分
5. 5. 已知向量a 与b 的夹角为120◦, |a| = 1, |b| = 3, 则|5a −b| = . 5分
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域. 向D 中随 机投一点, 则所投的点落在E 中的概率是 . 5分
7. 7. 某地区为了解70 ∼80 岁老人的日平均睡眠时间(单位: h), 随机选择了50 位老人进行调查. 下表是50 位老人日睡眠时间频率分布表: 开始 S ←0 i ←1 输入Gi, Fi S ←S + Gi × Fi i ←i + 1 i ⩾5 输出S 结束 Y N 序号 分组 组中值 频数 频率 (i) (睡眠时间) (Gi) (人数) (Fi) 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9] 5分
8. 8. 5 4 0.08 在上述统计数据的分析中, 一部分计算见算法流程图, 则输出的S 的值 为 . 8. 设直线y = 1 2x + b 是曲线y = ln x (x > 0) 的一条切线, 则实数b 的值 为 . 5分
9. 9. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 设三角形ABC 的顶点分别为A(0, a), B(b, 0), C(c, 0); 点P(0, p) 为线段AO 上的一点(异于端点), 这里a, b, c, p 为非零实数. 设直线BP, CP 分别与边AC, AB 交于点E, F. 某同学 已正确求得OE 的方程: (1 c ) x+ (1 p −1 a ) y = 0. 请你完成直线OF 的方程: ( ) x + (1 p −1 a ) y = 0. 5分
   B. −1
10. 10. 将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · · · · · · · · · · · · · · 根据以上排列规律, 数阵中第n (n ⩾3) 行的从左向右的第3 个数 是 . 5分
11. 11. 设x, y, z 为正实数, 满足x −2y + 3z = 0, 则y2 xz 的最小值为 . 5分
12. 12. 在平面直角坐标系xOy 中, 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的焦距为2c, 以点O 为圆心, a 为半径作圆M. 若过点 (a2 ) 所作圆M 的两条切线 互相垂直, 则该椭圆的离心率e = . 5分
    C. , 0
13. 13. 满足条件AB = 2, AC = √ 2BC 的三角形ABC 的面积的最大值 是 . 5分
14. 14. 设函数f(x) = ax3−3x+1 (x ∈R), 若对于任意x ∈[−1, 1], 都有f(x) ⩾0 成立, 则实数a 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 以Ox 轴为始边做两个锐角α, β, 它们 的终边分别与单位圆交于A、B 两点. 已知A、B 的横坐标分别为 √ 2 10 , 2 √ 5 5 . (1) 求tan(α + β) 的值; (2) 求α + 2β 的值. x y O 1 A B β α
2. 2. 如图, 在四面体ABCD 中, CB = CD, AD ⊥BD, 点E、F 分别是AB、 BD 的中点. 求证: (1) 直线EF 平面ACD; (2) 平面EFC ⊥平面BCD. A B C D E F
3. 3. 如图, 某地有三家工厂, 分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD 的 中点P 处, 已知AB = 20 km, BC = 10 km. 为了处理三家工厂的污水, 现要在矩形区域上(含边界), 且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污 水处理厂, 并铺设三条排污管道AO、BO、PO. 记排污管道的总长度为y km. (1) 按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO = θ (rad), 将y 表示为θ 的函数; ②设OP = x (km), 将y 表示为x 的函数; (2) 请你选用(1) 中的一个函数关系式, 确定污水处理厂的位置, 使铺设的 排污管道的总长度最短. A B C D P O
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 设二次函数f(x) = x2 + 2x + b (x ∈R) 的图 象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为C. (1) 求实数b 的取值范围; (2) 求圆C 的方程; (3) 问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)? 请证明你的结论. 457
5. 5. (1) 设a1, a2, · · · , an 是各项均不为零的n (n ⩾4) 项等差数列, 且公差 d̸ = 0. 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序) 是等比数列, ①当n = 4 时, 求a1 ②求n 的所有可能值. (2) 求证: 对于给定的正整数n (n ⩾4), 存在一个各项及公差都不为零的 等差数列b1, b2, · · · , bn, 其中任意三项(按原来顺序) 都不能组成等比数列.
6. 6. 已知函数f1(x) = 3|x−p1|, f2(x) = 2 · 3|x−p2| (x ∈R, p1, p2 为常数). 函数 f(x) 定义为: 对每个给定的实数x, f(x) = { f1(x), 若f1(x) ⩽f2(x), f2(x), 若f1(x) > f2(x). (1) 求f(x) = f1(x) 对所有实数x 成立的充分必要条件(用p1, p2 表示); (2) 设a, b 是两个实数, 满足a < b, 且p1, p2 ∈(a, b). 若f(a) = f(b), 求 证: f(x) 在区间[a, b] 上的单调增区间的长度之和为b −a 2 . (闭区间[m, n] 的长度定义为n −m)
7. 7. 四选二. 【A】如图, 设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于 点E, ∠BAC 的平分线与BC 交于点D. 求证: ED2 = EC · EB. A E B C D 【B】在平面直角坐标系xOy 中, 设椭圆4x2 + y2 = 1 在矩阵A = [ 2 0 0 1 ] 对应的变换下得到曲线F, 求F 的方程. 【C】在平面直角坐标系xOy 中, 设P(x, y) 是椭圆x2 3 + y2 = 1 上的一个 动点, 求S = x + y 的最大值. 【D】设a, b, c 为正实数, 求证: 1 a3 + 1 b3 + 1 c3 + abc ⩾2 √ 3.
8. 8. 如图, 设动点P 在棱长为1 的正方体ABCD −A1B1C1D1 的对角线BD1 上, 记D1P D1B = λ. 当∠APC 为钝角时, 求λ 的取值范围. A B P C D A1 B1 C1 D1
9. 9. 请先阅读: 在等式cos 2x = 2cos2x −1 (x ∈R) 的两边对x 求导 (cos 2x)′ = (2cos2x −1)′. 由求导法则得(−sin 2x) · 2 = 4 cos x · (−sin x), 化简得等式sin 2x = 2 sin x cos x. (1) 利用上述想法(或者其他方法), 试由等式(1+x)n = C0 n+C1 nx+C2 nx2+ · · · + Cn nxn (x ∈R, 整数n ⩾2) 证明: n[(1 + x)n−1 −1] = n∑ k=2 kCk nxk−1; (2) 对于正整数n ⩾3, 求证: ① n∑ k=1 (−1)kkCk n = 0; ② n∑ k=1 (−1)kk2Ck n = 0; ③ n∑ k=0 1 k + 1Ck n = 2n+1 −1 n + 1 . 458

原卷配图（含真实几何/应用题图示）