本卷为官方高考数学真题（2008年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 在复平面内, 复数z = sin 2 + i cos 2 对应的点位于
(
) 5分
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
-
2. 定义集合运算: A ∗B = {z | z = xy, x ∈A, y ∈B }.
设A = {1, 2},
(
) 5分
B. = {0, 2}, 则集合A ∗B 的所有元素之和为
A. 0
B. 2
C. 3
D. 6
-
3. 若函数y = f(x) 的值域是
[1
2, 3
]
, 则函数F (x) = f (x) +
1
f(x) 的值域
是
(
)
(A)
[1
2, 3
]
(B)
[
2, 10
3
]
(C)
[5
2, 10
3
]
(D)
[
3, 10
3
] 5分
-
4. lim
x→1
√x + 3 −2
√x −1
=
(
)
2
2 5分
A. 1
B. 0
C. −1
D. 不存在
-
5. 在数列{an} 中, a1 = 2, an+1 = an + ln
(
1 + 1
n
)
, 则an =
(
) 5分
A. 2 + ln n
B. 2+(n −1) ln n(C) 2 + n ln n
D. 1 + n + ln n
-
6. 函数y = tan x + sin x −|tan x −sin x| 在区间
(π
2 , 3π
2
)
内的图象大致
是
(
)
(A)
x
π
π
2
3π
2
y
2
O
(B)
x
π
π
2
3π
2
y
2
O
(C)
x
π
π
2
3π
2
y
−2
O
(D)
x
π
π
2
3π
2
y
−2
O 5分
-
7. 已知F1、F2 是椭圆的两个焦点, 满足# »
MF1 · # »
MF2 = 0 的点M 总在椭圆
内部, 则椭圆离心率的取值范围是
(
)
(B)
(
0, 1
2
]
(C)
(
0,
√
2
2
)
(D)
[√
2
2 , 1
) 5分
A. (0, 1)
-
8. (1 +
3√x)
6
(
1 +
1
4√x
)10
展开式中的常数项为
(
) 5分
A. 1
B. 46
C. 4245
D. 4246
-
9. 若0 < a1 < a2, 0 < b1 < b2, 且a1 + a2 = b1 + b2 = 1, 则下列代数式中值
最大的是
(
)
2 5分
A. a1b1 + a2b2
B. a1a2 + b1b2
C. a1b2 + a2b1
D. 1
-
10. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4 的球的两条弦AB、CD 的
长度分别等于2
√
7、4
√
3, M、N 分别为AB、CD 的中点, 每条弦的两端
都在球面上运动, 有下列四个命题:
①弦AB、CD 可能相交于点M;
②弦AB、CD 可能相交于点N;
③MN 的最大值为5;
④MN 的最小值为1.
其中真命题的个数为
(
) 5分
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
-
11. 电子钟一天显示的时间是从00 : 00 到23 : 59, 每一时刻都由四个数字组
成, 则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23 的概率为
(
)
(A)
1
180
(B)
1
288
(C)
1
360
(D)
1
480 5分
-
12. 已知函数f (x) = 2mx2 −2 (4 −m) x + 1, g (x) = mx, 若对于任一实数x,
(
) 5分
F. (x) 与g (x) 的值至少有一个为正数, 则实数m 的取值范围是
A. (0, 2)
B. (0, 8)
C. (2, 8)
D. (−∞, 0)
-
1. 直角坐标平面内三点A (1, 2), B (3, −2), C (9, 7), 若E、F 为线段BC 的
三等分点, 则# »
AE · # »
AF =
. 5分
-
2. 不等式2x−3
x +1 ⩽1
2 的解集为
. 5分
-
3. 过抛物线x2 = 2py (p > 0) 的焦点F 作倾斜角为30◦的直线, 与抛物线分
别交于A、B 两点(点A 在y 轴左侧), 则|AF|
|FB| =
. 5分
-
4. 如图1, 一个正四棱柱形的密闭容器水平放置, 其底部镶嵌了同底的正四棱
锥形实心装饰块, 容器内盛有a 升水时, 水面恰好经过正四棱锥的顶点P.
如果将容器倒置, 水面也恰好过点P (图2). 有下列四个命题:
其中真命题的代号是
. (写出所有真命题的代号)
P •
图1
P
图2
• 5分
A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;
B. 将容器侧面水平放置时, 水面也恰好过点P;
C. 任意摆放该容器, 当水面静止时, 水面都恰好经过点P;
D. 若往容器内再注入a 升水, 则容器恰好能装满.
-
1. 在△ABC 中, a、b、c 分别为角A、B、C 所对的边长, a = 2
√
3,
tan A + B
2
+ tan C
2 = 4, sin B sin C = cos2 A
2 . 求A、B 及b、c.
-
2. 因冰雪灾害, 某柑桔基地果林严重受损, 为此有关专家提出两种拯救果树的
方案, 每种方案都需分两年实施. 若实施方案一, 预计第一年可以使柑桔产
量恢复到灾前的1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是0.3、0.3、0.4; 第二年
可以使柑桔产量为第一年产量的1.25 倍、1.0 倍的概率分别是0.5、0.5. 若
实施方案二, 预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2 倍、1.0 倍、0.88
倍的概率分别是0.2、0.3、0.5; 第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2
倍、1.0 倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案第一年与第二年相互独立,
令ξi (i = 1, 2) 表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.
(1) 写出ξ1、ξ2 的分布列;
(2) 实施哪种方案, 两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
(3) 不管哪种方案, 如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前
产量, 预计利润分别为10 万元、15 万元、20 万元. 问实施哪种方案的平
均利润更大?
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-
3. 等差数列{an} 各项均为正整数, a1 = 3, 前n 项和为Sn, 等比数列{bn}
中, b1 = 1, 且b2S2 = 64, {bn} 是公比为64 的等比数列.
(1) 求an 与bn;
(2) 证明:
1
S1
+ 1
S2
+ · · · + 1
Sn
< 3
4.
-
4. 如图, 正三棱锥O −ABC 的三条侧棱OA、OB、OC 两两垂直, 且长度
均为2. E、F 分别是AB、AC 的中点, H 是EF 的中点, 过EF 的一
个平面与侧棱OA、OB、OC 或其延长线分别相交于A1、B1、C1, 已知
OA1 = 3
2.
(1) 证明: B1C1 ⊥平面OAH;
(2) 求二面角O −A1B1 −C1 的大小.
E
H
F
A
B
C
A1
B1
C1
O
-
5. 设点P (x0, y0) 在直线x = m (y̸ = ±m, 0 < m < 1) 上, 过点P 作双曲线
x2 −y2 = 1 的两条切线PA、PB, 切点为A、B, 定点M
( 1
m, 0
)
.
(1) 过点A 作直线x −y = 0 的垂线, 垂足为N, 试求△AMN 的重心G
所在的曲线方程;
(2) 求证: A、M、B 三点共线.
x
y
O
A
B
P
N
M
x = m
-
6. 已知函数f (x) =
1
√1 + x +
1
√1 + a +
√
ax
ax + 8, x ∈(0, +∞).
(1) 当a = 8 时, 求f (x) 的单调区间;
(2) 对任意正数a, 证明: 1 < f (x) < 2.
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