2008年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知a 是实数, a −i 1 + i 是纯虚数, 则a = ( ) (C) √ 2 √ 2 5分
   A. 1 B. −1 D. −
2. 2. 已知U = R, A = {x | x > 0}, B = {x | x ⩽−1}, 则 ( ) ∪ ( ) = ( ) 5分
   A. ∩∁UB B. ∩∁UA A. ∅ B. {x | x ⩽0} C. {x | x > −1} D. {x | x > 0 或x ⩽−1}
3. 3. 已知a, b 都是实数, 那么“a2 > b2”是“a > b”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 在(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) 的展开式中, 含x4 的项的系数是( ) 5分
   A. −15 B. 85 C. −120 D. 274
5. 5. 在同一平面直角坐标系中, 函数y = cos (x 2 + 3π 2 ) (x ∈[0, 2π]) 的图象和 直线y = 1 2 的交点个数是 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
6. 6. 已知{an} 是等比数列, a2 = 2, a5 = 1 4, 则a1a2+a2a3+· · ·+anan+1 =( ) 3 (1 −4−n) 3 (1 −2−n) 5分
   A. 16(1 −4−n) B. 16(1 −2−n) C. 32 D. 32
7. 7. 若双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为3 : 2, 则双曲 线的离心率是 ( ) (C) √ 3 (D) √ 5 5分
   A. 3 B. 5
8. 8. 若cos α + 2 sin α = − √ 5, 则tan α = ( ) 2 2 5分
   A. 1 B. 2 C. −1 D. −2
9. 9. 已知a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量c 满足(a −c) · (b − ( ) (C) √ 2 (D) √ 2 2 5分
   C. = 0, 则|c| 的最大值是 A. 1 B. 2
10. 10. 如图, AB 是平面α 的斜线段, A 为斜足. 若点P 在平面α 内运动, 使得 △ABP 的面积为定值, 则动点P 的轨迹是 ( ) A B P α 5分
    A. 圆 B. 椭圆 C. 一条直线 D. 两条平行直线

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知a > 0, 若平面内三点A(1, −a), B(2, a2), C(3, a3) 共线, 则a = . 5分
2. 2. 已知F1、F2 为椭圆x2 25 + y2 9 = 1 的两个焦点, 过F1 的直线交椭圆于A、 . 5分
   B. 两点. 若|F2A| + |F2B| = 12, 则|AB| =
3. 3. 在△ABC 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 若 (√ 3b −c ) cos A = . 5分
   A. cos C, 则cos A =
4. 4. 如图, 已知球O 的面上四点A、B、C、D, DA ⊥平面ABC, AB ⊥BC, DA = AB = BC = √ 3, 则球O 点体积等于 . A B C D 5分
5. 5. 已知t 为常数, 函数y = |x2 −2x −t| 在区间[0, 3] 上的最大值为2, 则 t = . 5分
6. 6. 用1, 2, 3, 4, 5, 6 组成六位数(没有重复数字), 要求任何相邻两个数字的 奇偶性不同, 且1 和2 相邻, 这样的六位数的个数是 . (用数字作答) 5分
7. 7. 若a ⩾0, b ⩾0, 且当        x ⩾0, y ⩾0, x + y ⩽1 时, 恒有ax + by ⩽1, 则以a, b 为坐标 的点P(a, b) 所形成的平面区域的面积等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直, BE CF, ∠BCF = ∠CEF = 90◦, AD = √ 3, EF = 2. (1) 求证: AE 平面DCF; (2) 当AB 的长为何值时, 二面角A −EF −C 的大小为60◦? A B E C D F
2. 2. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出1 个球, 得到黑球的概率是2 5; 从袋中任意摸出2 个球, 至少得到1 个白球的 概率是7 9. (1) 若袋中共有10 个球, ①求白球的个数; ②从袋中任意摸出3 个球, 记得到白球的个数为ξ, 求随机变量ξ 的数 学期望Eξ. (2) 求证: 从袋中任意摸出2 个球, 至少得到1 个黑球的概率不大于7 10. 并指出袋中哪种颜色的球个数最少. 491
3. 3. 已知曲线C 是到点P ( −1 2, 3 8 ) 和到直线y = −5 8 距离相等的点的轨迹. l 是过点Q(−1, 0) 的直线, M 是C 上(不在l 上) 的动点; A、B 在l 上, MA ⊥l, MB ⊥x 轴(如图). (1) 求曲线C 的方程; (2) 求出直线l 的方程, 使得|QB|2 |QA| 为常数. x y O Q B M A l •
4. 4. 已知a 是实数, 函数f(x) = √x(x −a). (1) 求函数f(x) 的单调区间; (2) 设g(a) 为f(x) 在区间[0, 2] 上的最小值. ①写出g(a) 的表达式; ②求a 的取值范围, 使得−6 ⩽g(a) ⩽−2.
5. 5. 已知数列{an}, an ⩾0, a1 = 0, a2 n+1 + an+1 −1 = a2 n (n ∈N∗). 记Sn = a1 + a2 + · · · + an, Tn = 1 1 + a1 + 1 (1 + a1)(1 + a2) + · · · + 1 (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an). 求证: 当n ∈N∗时, (1) an < an+1; (2) Sn > n −2; (3) Tn < 3. 492

原卷配图（含真实几何/应用题图示）