2008年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年湖北（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设a = (1, −2), b = (−3, 4), c = (3, 2), 则(a + 2b) · c = ( ) 5分
   A. (−15, 12) B. 0 C. −3 D. −11
2. 2. ( 2x3 − 1 2x2 )10 的展开式中常数项是 ( ) 2 4 5分
   A. 210 B. 105 C. 1 D. −105
3. 3. 若集合P = {1, 2, 3, 4}, Q = {x | 0 < x < 5, x ∈R}, 则 ( ) 5分
   A. “x ∈P”是“x ∈Q”的充分条件但不是必要条件 B. “x ∈P”是“x ∈Q”的必要条件但不是充分条件 C. “x ∈P”是“x ∈Q”的充要条件 D. “x ∈P”既不是“x ∈Q”的充分条件也不是“x ∈Q”的必要条件
4. 4. 用与球心距离为1 的平面去截球, 所得的截面面积为π, 则球的休积为( ) 3 √ 2π 3 √ 2π 3 5分
   A. 8π B. 8 C. 8 D. 32π
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 满足不等式组 { |x| ⩽|y| , |x| < 1 的点(x, y) 的集合 用阴影表示为下列图中的 ( ) (A) 1 −1 1 −1 x y O (B) 1 −1 1 −1 x y O (C) 1 −1 1 −1 x y O (D) 1 −1 1 −1 x y O 5分
6. 6. 已知f(x) 在R 上是奇函数, 且f(x + 4) = f(x), 当x ∈(0, 2) 时, f(x) = 2x2, 则f(7) = ( ) 5分
   A. −2 B. 2 C. −98 D. 98
7. 7. 将函数y = sin(x −θ) 的图象F 向右平移π 3 个单位长度得到图象F ′, 若 4 , 则θ 的一个可能取值是 ( ) 12π 12π 12π 12π 5分
   F. ′ 的一条对称轴是直线x = π A. 5 B. −5 C. 11 D. −11
8. 8. 函数f(x) = 1 x ln (√ x2 −3x + 2 + √ −x2 −3x + 4 ) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (−∞, −4] ∪[2, +∞) B. (−4, 0) ∪(0, 1) C. [−4, 0) ∪(0, 1] D. [−4, 0) ∪(0, 1)
9. 9. 从5 名男生和5 名女生中选3 人组队参加某集体项目的比赛, 其中至少有 一名女生入选的组队方案数为 ( ) 5分
   A. 100 B. 110 C. 120 D. 180
10. 10. 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行, 之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行, 最终卫星 在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行, 若用2c1 和 2c2 分别表示椭轨道I 和II 的焦距, 用2a1 和2a2 分别表示椭圆轨道I 和 II 的长轴的长, 给出下列式子: ①a1 + c1 = a2 + c2; ②a1 −c1 = a2 −c2; ③c1a2 > a1c2; ④c1 a1 < c2 a2 . 其中正确式子的序号是 ( ) I II III P F • 5分
    A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 一个公司共有1000 名员工, 下设一些部门, 要采用分层抽样方法从全体员 工中抽取一个容量为50 的样本, 已知某部门有200 名员工, 那么从该部门 抽取的工人数是 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, a, b, c 分别是角A, B, C 所对的边, 已知a = √ 3, b = 3, . 5分
   C. = 30◦, 则A =
3. 3. 方程2−x + x2 = 3 的实数解的个数为 . 5分
4. 4. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动, 为了准时起床, 他用甲、乙两个闹钟 叫醒自己. 假设甲闹钟准时响的概率是0.80, 乙闹钟准时响的概率是0.90, 则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 5分
5. 5. 圆C: { x = 3 + 4 cos θ, y = −2 + 4 sin θ, (θ 为参数) 的圆心坐标为 , 和圆C 关于直 线x −y = 0 对称的圆C′ 的普通方程是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = sin x 2 cos x 2 + cos2 x 2 −2. (1) 将函数f(x) 化简成A sin(ωx + φ) + B (A > 0, ω > 0, φ ∈[0, 2π)) 的 形式, 并指出f(x) 的周期; (2) 求函数f(x) 在 [ π, 17π 12 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 已知函数f(x) = x3 + mx2 −m2x + 1 (m 为常数, 且m > 0) 有极大值9. (1) 求m 的值; (2) 若斜率为−5 的直线是曲线y = f(x) 的切线, 求此直线方程. 451
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, 平面A1BC ⊥侧面A1ABB1. (1) 求证: AB ⊥BC; (2) 若AA1 = AC = a, 直线AC 与平面A1BC 所成的角为θ, 二面角 A1 −BC −A 的大小为φ, 求证: θ + φ = π 2 . A A1 B1 B C C1
4. 4. 如图, 要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即 图中阴影部分), 这两栏的面积之和为18000 cm2, 四周空白的宽度为10 cm, 两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm, 怎样确定广告的高与宽的尺寸 (单位: cm), 能使矩形广告面积最小?
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 −1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点为F1(−2, 0), F2(2, 0), 点P(3, √ 7) 在双曲线C 上. (1) 求双曲线C 的方程; (2) 记O 为坐标原点, 过点Q(0, 2) 的直线l 与双曲线C 相交于不同的两 点E、F, 若△OEF 的面积为2 √ 2, 求直线l 的方程.
6. 6. 已知数列{an} 和{bn} 满足: a1 = λ, an+1 = 2 3an + n −4, bn = (−1)n(an −3n + 21), 其中λ 为实数, n 为正整数. (1) 证明: 对任意实数λ, 数列{an} 不是等比数列; (2) 证明: 当λ̸ = −18 时, 数列{bn} 是等比数列; (2) 设Sn 为数列{bn} 的前n 项和, 是否存在实数λ, 使得对任意正整数 n, 都有Sn > −12? 若存在, 求λ 的取值范围; 若不存在, 说明理由. 452

原卷配图（含真实几何/应用题图示）