2008年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年湖北（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设a = (1, −2), b = (−3, 4), c = (3, 2), 则(a + 2b) · c = ( ) 5分
   A. (−15, 12) B. 0 C. −3 D. −11
2. 2. 若非空集合A, B, C 满足A ∪B = C, 且B 不是A 的子集, 则 ( ) 5分
   A. “x ∈C”是“x ∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x ∈C”是“x ∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x ∈C”是“x ∈A”的充要条件 D. “x ∈C”既不是“x ∈A”的充分条件也不是“x ∈A”必要条件
3. 3. 用与球心距离为1 的平面去截球, 所得的截面面积为π, 则球的休积为( ) 3 √ 2π 3 √ 2π 3 5分
   A. 8π B. 8 C. 8 D. 32π
4. 4. 函数f(x) = 1 x ln (√ x2 −3x + 2 + √ −x2 −3x + 4 ) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (−∞, −4] ∪[2, +∞) B. (−4, 0) ∪(0, 1) C. [−4, 0) ∪(0, 1] D. [−4, 0) ∪(0, 1)
5. 5. 将函数y = 3 sin(x −θ) 的图象F 按向量 (π 3 , 3 ) 平移得到图象F ′, 若F ′ 的一条对称轴是直线x = π 4 , 则θ 的一个可能取值是 ( ) 12π 12π 12π 12π 5分
   A. 5 B. −5 C. 11 D. −11
6. 6. 将5 名志愿者分配到3 个不同的奥运场馆参加接待工作, 每个场馆至少分 配一名志愿者的方案种数为 ( ) 5分
   A. 540 B. 300 C. 180 D. 150
7. 7. 若f(x) = −1 2x2 + b ln(x + 2) 在(−1, +∞) 上是减函数, 则b 的取值范围 是 ( ) 5分
   A. [−1, +∞) B. (−1, +∞) C. (−∞, −1] D. (−∞, −1)
8. 8. 已知m ∈N∗, a, b ∈R, 若lim x→0 (1 + x)m + a x = b, 则a · b = ( ) 5分
   A. −m B. m C. −1 D. 1
9. 9. 过点A(11, 2) 作圆x2 + y2 + 2x −4y −164 = 0 的弦, 其中弦长为整数的 共有 ( ) 5分
   A. 16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条
10. 10. 如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行, 之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行, 最终卫星 在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行, 若用2c1 和 2c2 分别表示椭轨道I 和II 的焦距, 用2a1 和2a2 分别表示椭圆轨道I 和 II 的长轴的长, 给出下列式子: ①a1 + c1 = a2 + c2; ②a1 −c1 = a2 −c2; ③c1a2 > a1c2; ④c1 a1 < c2 a2 . 其中正确式子的序号是 ( ) I II III P F • 5分
    A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设z1 是复数, z2 = z1 −iz1 (其中z1 表示z1 的共轭复数), 已知z2 的实部 是−1, 则z2 的虚部为 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, 三个角A, B, C 的对边边长分别为a = 3, b = 4, c = 6, 则 bc cos A + ca cos B + ab cos C 的值为 . 5分
3. 3. 已知函数f(x) = x2 + 2x + a, f(bx) = 9x2 −6x + 2, 其中x ∈R, a, b 为 常数, 则方程f(ax + b) = 0 的解集为 . 5分
4. 4. 已知函数f(x) = 2x, 等差数列{an} 的公差为2. 若f(a2 + a4 + a6 + a8 + a10) = 4, 则log2[f(a1) · f(a2) · f(a3) · · · · · f(a10)] = . 5分
5. 5. 观察下列等式: n∑ i=1 i = 1 2n2 + 1 2n, n∑ i=1 i2 = 1 3n3 + 1 2n2 + 1 6n, n∑ i=1 i3 = 1 4n4 + 1 2n3 + 1 4n2, n∑ i=1 i4 = 1 5n5 + 1 2n4 + 1 3n3 −1 30n2, n∑ i=1 i5 = 1 6n6 + 1 2n5 + 5 12n4 −1 12n2, n∑ i=1 i6 = 1 7n7 + 1 2n6 + 1 2n5 −1 6n3 + 1 42n2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · n∑ i=1 ik = ak+1nk+1 + aknk + ak−1nk−1 + ak−2nk−2 + · · · + a1n + a0, 可以推测, 当k ⩾2 (k ∈N∗) 时, ak+1 = 1 k + 1, ak = 1 2, ak−1 = , ak−2 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(t) = √ 1 −t 1 + t, g(x) = cos x · f(sin x) + sin x · f(cos x), x ∈ ( π, 17π 12 ] . (1) 将函数g(x) 化简成A sin(ωx + φ) + B (A > 0, ω > 0, φ ∈[0, 2π)) 的 形式; (2) 求函数g(x) 的值域.
2. 2. 袋中有20 个大小相同的球, 其中记上0 号的有10 个, 记上n 号的有n 个 (n = 1, 2, 3, 4). 现从袋中任取一球. ξ 表示所取球的标号. (1) 求ξ 的分布列, 期望和方差; (2) 若η = aξ + b, Eη = 1, Dη = 11, 试求a, b 的值. 449
3. 3. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, 平面A1BC ⊥侧面A1ABB1. (1) 求证: AB ⊥BC; (2) 若直线AC 与平面A1BC 所成的角为θ, 二面角A1 −BC −A 的大小 为φ, 试判断θ 与φ 的大小关系, 并予以证明. A A1 B1 B C C1
4. 4. 如图, 在以点O 为圆心, |AB| = 4 为直径的半圆ADB 中, OD ⊥AB, P 是半圆弧上一点, ∠POB = 30◦, 曲线C 是满足||MA| −|MB|| 为定值的 动点M 的轨迹, 且曲线C 过点P. (1) 建立适当的平面直角坐标系, 求曲线C 的方程; (2) 设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E、F. 若△OEF 的 面积不小于2 √ 2, 求直线l 斜率的取值范围. A D O B P
5. 5. 水库的蓄水量随时间而变化. 现用t 表示时间, 以月为单位, 年初为起点. 根据历年数据, 某水库的蓄水量(单位: 亿立方米) 关于t 的近似函数关系 式为V (t) = { (−t2 + 14t −40)e 1 4 t + 50, 0 < t ⩽10, 4(t −10)(3t −41) + 50, 10 < t ⩽12. (1) 该水库的蓄求量小于50 的时期称为枯水期. 以i −1 < t < i 表示第i 月份(i = 1, 2, · · · , 12), 同一年内哪几个月份是枯水期? (2) 求一年内该水库的最大蓄水量(取e = 2.7 计算).
6. 6. 已知数列{an} 和{bn} 满足: a1 = λ, an+1 = 2 3an + n −4, bn = (−1)n(an −3n + 21), 其中λ 为实数, n 为正整数. (1) 对任意实数λ, 证明数列{an} 不是等比数列; (2) 试判断数列{bn} 是否为等比数列, 并证明你的结论; (3) 设0 < a < b, Sn 为数列{bn} 的前n 项和. 是否存在实数λ, 使得对任 意正整数n, 都有a < Sn < b? 若存在, 求λ 的取值范围; 若不存在, 说明 理由. 450

原卷配图（含真实几何/应用题图示）