2008年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知U = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, M = {3, 4, 5, 7}, N = {2, 4, 5, 6}, 则( ) 5分
   A. M ∩N = {4, 6} B. M ∪N = U C. (∁UN) ∪M = U D. (∁UM) ∩N = N
2. 2. “|x −1| < 2”是“x < 3”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 已知变量x, y 满足        x ⩾1, y ⩽2, x −y ⩽0, 则x + y 的最小值是 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 4. 函数f(x) = x2 (x ⩽0) 的反函数是 ( ) 5分
   A. f −1(x) = √x (x ⩾0) B. f −1(x) = −√x (x ⩾0) C. f −1(x) = −√−x (x ⩽0) D. f −1(x) = −x2 (x ⩽0)
5. 5. 已知直线m, n 和平面α, β 满足m ⊥n, m ⊥α, α ⊥β, 则 ( ) β, 或n ⊂β α, 或n ⊂α 5分
   A. n ⊥β B. n C. n ⊥α D. n
6. 6. 下面不等式成立的是 ( ) 5分
   A. log32 < log23 < log25 B. log32 < log25 < log23 C. log23 < log32 < log25 D. log23 < log25 < log32
7. 7. 在△ABC 中, AB = 3, AC = 2, BC = √ 10, 则# » AB · # » AC = ( ) 2 3 3 2 5分
   A. −3 B. −2 C. 2 D. 3
8. 8. 某市拟从4 个重点项目和6 个一般项目中各选2 个项目作为本年度启动 的项目, 则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数 是 ( ) 5分
   A. 15 B. 45 C. 60 D. 75
9. 9. 长方体ABCD −A1B1C1D1 的8 个顶点在同一个球面上, 且AB = 2, AD = √ 3, AA1 = 1, 则顶点A、B 间的球面距离是 ( ) (A) √ 2π 4 (B) √ 2π 2 (C) √ 2π √ 2π 5分
   D. 2
10. 10. 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右支上存在一点, 它到右焦点及左准 线的距离相等, 则双曲线离心率的取值范围是 ( ) √ 2] √ 2, +∞) √ 2 + 1] √ 2 + 1, +∞) 5分
    A. (1, B. [ C. (1, D. [

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知向量a = (1, √ 3), b = (−2, 0), 则|a + b| = . 5分
2. 2. 从某地区15000 位老人中随机抽取500 人, 其生活能否自理的情况如下表 所示: 男 女 178 278 不能 能 性 别 人 数 生活 能否自理 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人. 5分
3. 3. 记 ( 2x + 1 x )n 的展开式中第m 项的系数为bm, 若b3 = 2b4, 则 n = . 5分
4. 4. 将圆x2 + y2 = 1 沿x 轴正向平移1 个单位后所得到圆C, 则圆C 的方程 是 ; 若过点(3, 0) 的直线l 和圆C 相切, 则直线l 的斜率为 . 5分
5. 5. 设[x] 表示不超x 的最大整数(如[2] = 2, [5 4 ] = 1). 对于给定的n ∈N∗, 定义Cx n = n(n −1) · · · (n −[x] + 1) x(x −1) · · · (x −[x] + 1) , x ∈[1, +∞), 则C 3 2 8 = ; 当 x ∈[2, 3) 时, 函数Cx 8 的值域是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试, 面试合格者可正式签约. 甲表 示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定: 两人面试都合格就一同签约, 否则 两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是1 2, 且面试是否合格互不影响. 求: (1) 至少有1 人面试合格的概率; (2) 没有人签约的概率.
2. 2. 已知函数f(x) = cos2 x 2 −sin2 x 2 + sin x. (1) 求函数f(x) 的最小正周期; (2) 当x0 ∈ ( 0, π 4 ) 且f(x0) = 4 √ 2 5 时, 求f ( x0 + π 6 ) 的值.
3. 3. 如图所示, 四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是边长为1 的菱形, ∠BCD = 60◦, E 是CD 的中点, PA ⊥底面ABCD, PA = √ 3. (1) 证明: 平面PBE ⊥平面PAB; (2) 求二面角A −BE −P 的大小. A C P D B E 455
4. 4. 已知椭圆的中心在原点, 一个焦点是F(2, 0), 且两条准线间的距离为λ (λ > 4). (1) 求椭圆的方程; (2) 若存在过点A(1, 0) 的直线l, 使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上, 求λ 的取值范围.
5. 5. 数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 2, an+2 = ( 1 + cos2 nπ 2 ) an + sin2 nπ 2 , n = 1, 2, 3, · · · . (1) 求a3, a4, 并求数列{an} 的通项公式; (2) 设Sk = a1 + a3 + · · · + a2k−1, Tk = a2 + a4 + · · · + a2k, Wk = 2Sk 2 + Tk (k ∈N∗), 求使Wk > 1 的所有k 的值, 并说明理由.
6. 6. 已知函数f(x) = 1 4x4 + x3 −9 2x2 + cx 有三个极值点. (1) 证明: −27 < c < 5; (2) 若存在实数c, 使函数f(x) 在区间[a, a + 2] 上单调递减, 求a 的取值 范围. 456

原卷配图（含真实几何/应用题图示）