2008年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数 ( i −1 i )3 等于 ( ) 5分
   A. 8 B. −8 C. 8i D. −8i
2. 2. “|x −1| < 2 成立”是“x(x −3) < 0 成立”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 已知变量x、y 满足条件        x ⩾1, x −y ⩽0, x + 2y −9 ⩽0, 则x + y 的最大值是 ( ) 5分
   A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
4. 4. 设随机变量ξ 服从正态分布N(2, 9), 若P(ξ > c + 1) = P(ξ < c −1), 则 ( ) 5分
   C. = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 5. 设有直线m、n 和平面α、β. 下列四个命题中, 正确的是 ( ) α, n α, 则m n β, n β, 则α β α 5分
   A. 若m B. 若m ⊂α, n ⊂α, m C. 若α ⊥β, m ⊂α, 则m ⊥β D. 若α ⊥β, m ⊥β, m̸ ⊂α, 则m
6. 6. 函数f(x) = sin2 x + √ 3 sin x cos x 在区间 [π 4 , π 2 ] 上的最大值是 ( ) √ 3 2 2 √ 3 5分
   A. 1 B. 1 + C. 3 D. 1 +
7. 7. 设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点, 且# » DC = 2# » BD, # » CE = 2# » EA, # » AF = 2# » FB, 则# » AD + # » BE + # » CF 与# » BC ( ) 5分
   A. 反向平行 B. 同向平行 C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直
8. 8. 若双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 上横坐标为3a 2 的点到右焦点的距 离大于它到左准线的距离, 则双曲线离心率的取值范围是 ( ) 5分
   A. (1, 2) B. (2, +∞) C. (1, 5) D. (5, +∞)
9. 9. 长方体ABCD −A1B1C1D1 的8 个顶点在同一球面上, 且AB = 2, AD = √ 3, AA1 = 1, 则顶点A、B 间的球面距离是 ( ) √ 2π (B) √ 2π (C) √ 2π 2 (D) √ 2π 4 5分
   A. 2
10. 10. 设[x] 表示不超过x 的最大整数(如[2]=2, [5 4 ] = 1). 对于给定的n ∈N∗, 定义Cx n = n(n −1) · · · (n −[x] + 1) x(x −1) · · · (x −[x] + 1) , x ∈[1, +∞), 则当x ∈ [3 2, 3 ) 时, 函 数Cx 8 的值域是 ( ) (A) [16 3 , 28 ] (B) [16 3 , 56 ) (C) ( 4, 28 3 ) ∪[28, 56) (D) ( 4, 16 3 ] ∪ (28 3 , 28 ] 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. lim x→1 x −1 x2 + 3x −4 = . 5分
2. 2. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点为F, 右准线为l, 离心率 √ 5 5 . 过顶点A(0, b) 作AM ⊥l, 垂足为M, 则直线FM 的斜率等 于 . 5分
   E. =
3. 3. 设函数y = f(x) 存在反函数y = f −1(x), 且函数y = x −f(x) 的图象过 点(1, 2). 则函数y = f −1(x) −x 的图象一定过点 . 5分
4. 4. 已知函数f(x) = √3 −ax (a̸ = 1). (1) 若a > 1, 则f(x) 的定义域是 ; (2) 若f(x) 在区间(0, 1] 上是减函数, 则实数a 的取值范围是 . 5分
   A. −1
5. 5. 对有n (n ⩾4) 个元素的总体{1, 2, 3, · · · , n} 进行抽样, 先将总体分成 两个子总体{1, 2, · · · , m} 和{m + 1, m + 2, · · · , n} (m 是给定的正整 数, 且2⩽m ⩽n −2), 再从每个子总体中各随机抽取2 个元素组成样本, 用Pij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率, 则P1n = ; 所有 Pij (1 ⩽i < j ⩽n) 的和等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试, 面试合格者可正式签约. 甲表 示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定: 两人面试都合格就一同签约, 否则 两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是1 2, 且面试是否合格互不影响. 求: (1) 至少有1 人面试合格的概率; (2) 签约人数ξ 的分布列和数学期望.
2. 2. 如图所示, 四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是边长为1 的菱形, ∠BCD = 60◦, E 是CD 的中点, PA ⊥底面ABCD, PA = 2. (1) 证明: 平面PBE ⊥平面PAB; (2) 求平面PAD 和平面PBE 所成二面角(锐角) 的大小. A C P D B E
3. 3. 数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 2, an+2 = ( 1 + cos2 nπ 2 ) an + sin2 nπ 2 , n = 1, 2, 3, · · · . (1) 求a3, a4, 并求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = a2n−1 a2n , Sn = b1+b2+· · ·+bn. 证明: 当n ⩾6 时, |Sn −2| < 1 n. 453
4. 4. 在一个特定时段内, 以点E 为中心的7 海里以内海域被设为警戒水域. 点E 正北55 海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行 驶的船只位于点A 北偏东45◦且与点A 相距40 √ 2 海里的位置B, 经 过40 分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45◦+ θ (其中sin θ = √ 26 26 , 0◦< θ < 90◦) 且与点A 相距10 √ 13 海里的位置C. (1) 求该船的行驶速度(单位: 海里/小时); (2) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明 理由. 东 北
5. 5. 若A、B 是抛物线y2 = 4x 上的不同两点, 弦AB (不平行于y 轴) 的垂 直平分线与x 轴相交于点P, 则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”. 已知当 x > 2 时, 点P(x, 0) 存在无穷多条“相关弦”. 给定x0 > 2. (1) 证明: 点P(x0, 0) 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; (2) 试问: 点P(x0, 0) 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值? 若存在, 求其 最大值(用x0 表示); 若不存在, 请说明理由.
6. 6. 已知函数f(x) = ln2(1 + x) − x2 1 + x. (1) 求函数f(x) 的单调区间; (2) 若不等式 ( 1 + 1 n )n+α ⩽e 对任意的n ∈N∗都成立(其中e 是自然对 数的底数), 求α 的最大值. 454

原卷配图（含真实几何/应用题图示）