2008年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合A = {x | x2 −x < 0}, B = {x | 0 < x < 3}, 则A ∩B 等于 ( ) 5分
   A. {x | 0 < x < 1} B. {x | 0 < x < 3} C. {x | 1 < x < 3} D. ∅
2. 2. “a = 1”是“直线x + y = 0 和直线x −ay = 0 互相垂直”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 设{an} 是等差数列, 若a2 = 3, a1 = 13, 则数列{an} 前8 项的和为( ) 5分
   A. 128 B. 80 C. 64 D. 56
4. 4. 函数f(x) = x3 + sin x + 1 (x ∈R), 若f(a) = 2, 则f(−a) 的值为 ( ) 5分
   A. 3 B. 0 C. −1 D. −2
5. 5. 某一批花生种子, 如果每1 粒发芽的概率为4 5, 那么播下3 粒种子恰有2 粒发芽的概率是 ( ) 125 125 125 125 5分
   A. 12 B. 16 C. 48 D. 96
6. 6. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = BC = 2, AA1 = 1, 则AC1 与平面A1B1C1D1 所成角的正弦值为 ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 √ 2 3 3 (C) √ 2 4 3 5分
   A. 2 B. 2 D. 1
7. 7. 函数y = cos x (x ∈R) 的图象向左平移π 2 个单位后, 得到函数y = g(x) 的图象, 则g(x) 的解析式为 ( ) 5分
   A. −sin x B. sin x C. −cos x D. cos x
8. 8. 在△ABC 中, 角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 若a2 + c2 −b2 = √ 3ac, 则角B 的值为 ( ) 6 3 6 或5π 6 3 或2π 3 5分
   A. π B. π C. π D. π
9. 9. 某班级要从4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务, 如果要求 至少有1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 ( ) 5分
   A. 14 B. 24 C. 28 D. 48
10. 10. 若实数x、y 满足        x −y + 1 ⩽0, x > 0, y ⩽2, 则y x 的取值范围是 ( ) 5分
    A. (0, 2) B. (0, 2] C. (2, +∞) D. [2, +∞)
11. 11. 如果函数y = f(x) 的图象如下图, 那么导函数y = f ′(x) 的图象可能 是 ( ) y = f(x) x y O (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
12. 12. 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点为F1、F2, 若P 为其上一 点, 且|PF1| = 2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为 ( ) 5分
    A. (1, 3) B. (1, 3] C. (3, +∞) D. [3, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x + 1 x )9 展开式中x2 的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 若直线3x + 4y + m = 0 与圆x2 + y2 −2x + 4y + 4 = 0 没有公共点, 则 实数m 的取值范围是 . 5分
3. 3. 若三棱锥的三个侧面两两垂直, 且侧棱长均为 √ 3, 则其外接球的表面积 是 . 5分
4. 4. 设P 是一个数集, 且至少含有两个数, 若对任意a、b ∈P, 都有a+b、a−b、 ab、a 有下列命题: ①数域必含有0,1 两个数; ②整数集是数域; ③若有理数集 Q ⊆M, 则数集M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序 号是 . (把你认为正确的命题的序号填填上) 5分
   B. ∈P (除数b̸ = 0), 则称P 是一个数域. 例如有理数集Q 是数域.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量m = (sin A, cos A), n = (1, −2), 且m · n = 0. (1) 求tan A 的值; (2) 求函数f(x) = cos 2x + 4 cos A sin x (x ∈R) 的值域.
2. 2. 三人独立破译同一份密码. 已知三人各自破译出密码的概率分别为1 5, 1 4, 1 3, 且他们是否破译出密码互不影响. (1) 求恰有二人破译出密码的概率; (2) “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大? 说明理由. 443
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 侧面PAD ⊥底面ABCD, 侧棱PA = PD = √ 2, 底面ABCD 为直角梯形, 其中BC AD, AB ⊥AD, AD = 2AB = 2BC = 2, O 为AD 中点. (1) 求证: PO ⊥平面ABCD; (2) 求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值; (3) 求点A 到平面PCD 的距离. A B C D O P
4. 4. 已知{an} 是正数组成的数列, a1 = 1, 且点(√an, an+1) (n ∈N∗) 在函数 y = x2 + 1 的图象上. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若列数{bn} 满足b1 = 1, bn+1 = bn + 2an, 求证: bn · bn+2 < b2 n+1.
5. 5. 已知函数f(x) = x3 + mx2 + nx −2 的图象过点(−1, −6), 且函数 g(x) = f ′(x) + 6x 的图象关于y 轴对称. (1) 求m、n 的值及函数y = f(x) 的单调区间; (2) 若a > 0, 求函数y = f(x) 在区间(a −1, a + 1) 内的极值.
6. 6. 如图, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点为F(1, 0), 且过点 (2, 0). (1) 求椭圆C 的方程; (2) 若AB 为垂直于x 轴的动弦, 直线l: x = 4 与x 轴交于点N, 直线 AF 与BN 交于点M. ①求证: 点M 恒在椭圆C 上; ②求△AMN 面积的最大值. x y O F l A B N M 444

原卷配图（含真实几何/应用题图示）