2008年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年福建（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若复数(a2 −3a + 2) + (a −1)i 是纯虚数, 则实数a 的值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 1 或2 D. −1
2. 2. 设集合A = { x  x x −1 < 0 } , B = {x | 0 < x < 3}, 那么“m ∈A”是 “m ∈B”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 设{an} 是公比为正数的等比数列, 若a1 = 7, a5 = 16, 则数列{an} 前7 项的和为 ( ) 5分
   A. 63 B. 64 C. 127 D. 128
4. 4. 函数f(x) = x3 + sin x + 1 (x ∈R), 若f(a) = 2, 则f(−a) 的值为 ( ) 5分
   A. 3 B. 0 C. −1 D. −2
5. 5. 某一批花生种子, 如果每1 粒发牙的概率为4 5, 那么播下4 粒种子恰有2 粒发芽的概率是 ( ) 625 625 625 625 5分
   A. 16 B. 96 C. 192 D. 256
6. 6. 如图, 在长方体ABCD−A1B1C1D1 中, AB = BC = 2, AA1 = 1, 则BC1 与平面BB1D1D 所成角的正弦值为 ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 (A) √ 6 3 √ 6 5 (C) √ 15 5 (D) √ 10 5 5分
   B. 2
7. 7. 某班级要从4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务, 如果要求 至少有1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 ( ) 5分
   A. 14 B. 24 C. 28 D. 48
8. 8. 若实数x、y 满足 { x −y + 1 ⩽0, x > 0, 则y x 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (0, 1] C. (1, +∞) D. [1, +∞)
9. 9. 函数f(x) = cos x (x ∈R) 的图象按向量(m, 0) 平移后, 得到函数 y = −f ′(x) 的图象, 则m 的值可以为 ( ) 2 2 5分
   A. π B. π C. −π D. −π
10. 10. 在△ABC 中, 角A、B、C 的对边分别为a、b、c. 若(a2 +c2 −b2) tan B = √ 3ac, 则角B 的值为 ( ) 6 3 6 或5π 6 3 或2 3 5分
    A. π B. π C. π D. π
11. 11. 双曲线x2 a2 = y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点为F1、F2, 若P 为其上一 点, 且|PF1| = 2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为 ( ) 5分
    A. (1, 3) B. (1, 3] C. (3, +∞) D. [3, +∞)
12. 12. 已知函数y = f(x), y = g(x) 的导函数的图象如下图, 那么y = f(x), y = g(x) 的图象可能是 ( ) x0 y = f ′(x) y = g′(x) x y O (A) x0 y = f(x) y = g(x) x y O (B) x0 y = f(x) y = g(x) x y O (C) x0 y = g(x) y = f(x) x y O (D) x0 y = g(x) y = f(x) x y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 若(x −2)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, 则a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = . (用数字作答) 5分
2. 2. 若直线3x + 4y + m = 0 与圆 { x = 1 + cos θ, y = −2 + sin θ, (θ 为参数) 没有公共点, 则实数m 的取值范围是 . 5分
3. 3. 若三棱锥的三个侧面两两垂直, 且侧棱长均为 √ 3, 则其外接球的表面积 是 . 5分
4. 4. 设P 是一个数集, 且至少含有两个数, 若对任意a、b ∈P, 都有a+b、a−b、 ab、a 集F = { √ 2 | a, b ∈Q } 也是数域. 有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集Q ⊆M, 则数集M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在 无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 . (把你认为正确的命题的 序号填填上) 5分
   B. ∈P (除数b̸ = 0), 则称P 是一个数域. 例如有理数集Q 是数域; 数 A. + b

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量m = (sin A, cos A), n = ( √ 3, −1), m · n = 1, 且A 为锐角. (1) 求角A 的大小; (2) 求函数f(x) = cos 2x + 4 cos A sin x (x ∈R) 的值域.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 侧面PAD ⊥底面ABCD, 侧棱PA = PD = √ 2, 底面ABCD 为直角梯形, 其中BC AD, AB ⊥AD, AD = 2AB = 2BC = 2, O 为AD 中点. (1) 求证: PO ⊥平面ABCD; (2) 求异面直线PD 与CD 所成角的大小; (3) 线段AD 上是否存在点Q, 使得它到平面PCD 的距离为 √ 3 2 ? 若存 在, 求出AQ QD 的值; 若不存在, 请说明理由. A B C D O P 441
3. 3. 已知函数f(x) = 1 3x3 + x2 −2. (1) 设{an} 是正数组成的数列, 前n 项和为Sn, 其中a1 = 3. 若点 (an, a2 n+1 −2an+1) (n ∈N∗) 在函数y = f ′(x) 的图象上, 求证: 点(n, Sn) 也在y = f ′(x) 的图象上; (2) 求函数f(x) 在区间(a −1, a) 内的极值.
4. 4. 某项考试按科目A、科目B 依次进行, 只有当科目A 成绩合格时, 才可继 续参加科目B 的考试. 已知每个科目只允许有一次补考机会, 两个科目成 绩均合格方可获得证书. 现某人参加这项考试, 科目A 每次考试成绩合格 的概率均为2 3, 科目B 每次考试成绩合格的概率均为1 2. 假设各次考试成 绩合格与否均互不影响. (1) 求他不需要补考就可获得证书的概率; (2) 在这项考试过程中, 假设他不放弃所有的考试机会, 记他参加考试的次 数为ξ, 求ξ 的数学期望Eξ.
5. 5. 如图, 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点是F(1, 0), O 为坐标原点. (1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方 程; (2) 设过点F 的直线l 交椭圆于A、B 两点. 若直线l 绕点F 任意转动, 值有|OA|2 + |OB|2 < |AB|2, 求a 的取值范围. x y O F l A B
6. 6. 已知函数f(x) = ln(1 + x) −x. (1) 求f(x) 的单调区间; (2) 记f(x) 在区间[0, π] (n ∈N∗) 上的最小值为bn, 令an = ln(1+n)−bn. ①如果对一切n, 不等式√an < √an+2 − c √an+2 恒成立, 求实数c 的 取值范围; ②求证: a1 a2 + a1a3 a2a4 + · · · + a1a3 · · · a2n−1 a2a4 · · · a2n < √2an + 1 −1. 442

原卷配图（含真实几何/应用题图示）