2008年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年辽宁（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {x | −3 < x < 1}, N = {x | x ⩽−3}, 则M ∪N = ( ) 5分
   A. ∅ B. {x | x ⩾−3} (C) {x | x ⩾1} D. {x | x < 1}
2. 2. 若函数y = (x + 1)(x −a) 为偶函数, 则a = ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
3. 3. 圆x2 + y2 = 1 与直线y = kx + 2 没有公共点的充要条件是 ( ) ( − √ 2, √ 2 ) ( − √ 3, √ 3 ) ( −∞, − √ 2 ) ∪ (√ 2, +∞ ) ( −∞, − √ 3 ) ∪ (√ 3, +∞ ) 5分
   A. k ∈ B. k ∈ C. k ∈ D. k ∈
4. 4. 已知0 < a < 1, x = loga √ 2 + loga √ 3, y = 1 2loga5, z = loga √ 21 −loga √ 3, 则 ( ) 5分
   A. x > y > z B. z > y > x C. y > x > z D. z > x > y
5. 5. 已知四边形ABCD 的三个顶点A(0, 2), B(−1, −2), C(3, 1), 且# » BC = 2# » AD, 则顶点D 的坐标为 ( ) (A) ( 2, 7 2 ) (B) ( 2, −1 2 ) 5分
   C. (3, 2) D. (1, 3)
6. 6. 设P 为曲线C: y = x2 + 2x + 3 上的点, 且曲线C 在点P 处切线倾斜角 的取值范围是 [ 0, π 4 ] , 则点P 横坐标的取值范围是 ( ) (A) [ −1, −1 2 ] (D) [1 2, 1 ] 5分
   B. [−1, 0] C. [0, 1]
7. 7. 4 张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4, 从这4 张卡片中随机抽取2 张, 则取 出的2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) 3 2 3 4 5分
   A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
8. 8. 将函数y = 2x + 1 的图象按向量a 平移得到函数y = 2x+1 的图象, 则( ) 5分
   A. a = (−1, −1) (B) a = (1, −1) C. a = (1, 1) D. a = (−1, 1)
9. 9. 已知变量x, y 满足约束条件        y + x −1 ⩽0, y −3x −1 ⩽0, y −x + 1 ⩾0, 则z = 2x + y 的最大值 为 ( ) 5分
   A. 4 B. 2 C. 1 D. −4
10. 10. 一生产过程有4 道工序, 每道工序需要安排一人照看. 现从甲、乙、丙等6 名工人中安排4 人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、乙两工人中 安排1 人, 第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人, 则不同的安排方 案共有 ( ) 5分
    A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 72 种
11. 11. 已知双曲线9y2 −m2x2 = 1 (m > 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离 为1 5, 则m = ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 12. 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, F 分别为棱AA1, CC1 的中点, 则 在空间中与三条直线A1D1, EF, CD 都相交的直线 ( ) 5分
    A. 不存在 B. 有且只有两条(C) 有且只有三条(D) 有无数条

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 函数y = e2x+1 (−∞< x < +∞) 的反函数是 . 5分
2. 2. 在体积为4 √ 3π 的球的表面上有A, B, C 三点, AB = 1, BC = √ 2, A, C 两点的球面距离为 √ 3 3 π, 则球心到平面ABC 的距离为 . 5分
3. 3. (1 + x3) ( x + 1 x2 )6 展开式中的常数项为 . 5分
4. 4. 设x ∈ ( 0, π 2 ) , 则函数y = 2sin2x + 1 sin 2x 的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 对边的边长分别是a, b, c. 已知c = 2, C = π 3 . (1) 若△ABC 的面积等于 √ 3, 求a, b; (2) 若sin B = 2 sin A, 求△ABC 的面积.
2. 2. 某批发市场对某种商品的周销售量(单位: 吨) 进行统计, 最近100 周的统 计结果如下表所示: 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 (1) 根据上面统计结果, 求周销售量分别为2 吨, 3 吨和4 吨的频率; (2) 若以上述频率作为概率, 且各周的销售量相互独立, 求 ①4 周中该种商品至少有一周的销售量为4 吨的概率; ②该种商品4 周的销售量总和至少为15 吨的概率.
3. 3. 如图, 在棱长为1 的正方体ABCD −A′B′C′D′ 中, AP = BQ = b (0 < A′D, 截面PQGH AD′. (1) 证明: 平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直; (2) 证明: 截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值, 并求出这个值; (3) 若b = 1 2, 求D′E 与平面PQEF 所成角的正弦值. A B E F G H P Q C D A′ B′ C′ D′ 465
4. 4. 在数列{an}, {bn} 是各项均为正数的等比数列, 设cn = bn an (n ∈N∗). (1) 数列{cn} 是否为等比数列? 证明你的结论; (2) 设数列{ln an}, {ln bn} 的前n 项和分别为Sn, Tn. 若a1 = 2, Sn Tn = n 2n + 1, 求数列{cn} 的前n 项和.
5. 5. 在直角坐标系xOy 中, 点P 到两点 ( 0, − √ 3 ) , ( 0, √ 3 ) 的距离之和为4, 设点P 的轨迹为C. (1) 写出C 的方程; (2) 设直线y = kx + 1 与C 交于A, B 两点. k 为何值时# » OA ⊥# » OB? 此 时 # » AB  的值是多少?
6. 6. 设函数f(x) = ax3 + bx2 −3a2x + 1 (a, b ∈R) 在x = x1, x = x2 处取得 极值, 且|x1 −x2| = 2. (1) 若a = 1, 求b 的值, 并求f(x) 的单调区间; (2) 若a > 0, 求b 的取值范围. 466

原卷配图（含真实几何/应用题图示）