本卷为官方高考数学真题（2008年辽宁（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知集合
M
=
{
x
x + 3
x −1 < 0
}
,
N
=
{x | x ⩽−3},
则集合
{x | x ⩾1} =
(
) 5分
A. M ∩N
B. M ∪N
C. ∁R(M ∩N)
D. ∁R(M ∪N)
-
2. lim
n→∞
1 + 3 + 5 + · · · + (2n −1)
n(2n + 1)
=
(
)
4
2 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
-
3. 圆x2 + y2 = 1 与直线y = kx + 2 没有公共点的充要条件是
(
)
(
−
√
2,
√
2
)
(
−∞, −
√
2
)
∪
(√
2, +∞
)
(
−
√
3,
√
3
)
(
−∞, −
√
3
)
∪
(√
3, +∞
) 5分
A. k ∈
B. k ∈
C. k ∈
D. k ∈
-
4. 复数
1
−2 + i +
1
1 −2i 的虚部是
(
)
5i
5
5i
5 5分
A. 1
B. 1
C. −1
D. −1
-
5. 已知O, A, B 是平面上的三个点, 直线AB 上有一点C, 满足2# »
AC + # »
CB =
0, 则# »
OC =
(
)
OA −# »
OB
OA + 2# »
OB (C) 2
3
# »
OA −1
3
# »
OB (D) −1
3
# »
OA+ 2
3
# »
OB 5分
A. 2# »
B. −# »
-
6. 设P 为曲线C: y = x2 + 2x + 3 上的点, 且曲线C 在点P 处切线倾斜角
的取值范围是
[
0, π
4
]
, 则点P 横坐标的取值范围是
(
)
(A)
[
−1, −1
2
]
(D)
[1
2, 1
] 5分
B. [−1, 0]
C. [0, 1]
-
7. 4 张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4, 从这4 张卡片中随机抽取2 张, 则取
出的2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为
(
)
3
2
3
4 5分
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
-
8. 将函数y = 2x + 1 的图象按向量a 平移得到函数y = 2x+1 的图象, 则(
) 5分
A. a = (−1, −1) (B) a = (1, −1)
C. a = (1, 1)
D. a = (−1, 1)
-
9. 一生产过程有4 道工序, 每道工序需要安排一人照看. 现从甲、乙、丙等6
名工人中安排4 人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、乙两工人中
安排1 人, 第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 人, 则不同的安排方
案共有
(
) 5分
A. 24 种
B. 36 种
C. 48 种
D. 72 种
-
10. 已知点P 是抛物线y2 = 2x 上的一个动点, 则点P 到点(0, 2) 的距离与
P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
(
)
(A)
√
17
2
(C)
√
5
2 5分
B. 3
D. 9
-
11. 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, F 分别为棱AA1, CC1 的中点, 则
在空间中与三条直线A1D1, EF, CD 都相交的直线
(
) 5分
A. 不存在
B. 有且只有两条(C) 有且只有三条(D) 有无数条
-
12. 设f(x) 是连续的偶函数, 且当x > 0 时f(x) 是单调函数, 则满足
f(x) = f
(x + 3
x + 4
)
的所有x 之和为
(
) 5分
A. −3
B. 3
C. −8
D. 8
-
1. 函数y =
{
x + 1,
x < 0,
ex,
x ⩾0,
的反函数是
. 5分
-
2. 在体积为4
√
3π 的球的表面上有A, B, C 三点, AB = 1, BC =
√
2, A, C
两点的球面距离为
√
3
3 π, 则球心到平面ABC 的距离为
. 5分
-
3. 已知(1+x+x2)
(
x + 1
x3
)n
的展开式中没有常数项, n ∈N∗且2 ⩽n ⩽8,
则n =
. 5分
-
4. 已知f(x) = sin
(
ωx + π
3
)
(ω > 0), f
(π
6
)
= f
(π
3
)
, 且f(x) 在区间
(π
6 , π
3
)
有最小值, 无最大值, 则ω =
. 5分
-
1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 对边的边长分别是a, b, c. 已知c = 2, C = π
3 .
(1) 若△ABC 的面积等于
√
3, 求a, b;
(2) 若sin C + sin(B −A) = 2 sin 2A, 求△ABC 的面积.
-
2. 某批发市场对某种商品的周销售量(单位: 吨) 进行统计, 最近100 周的统
计结果如下表所示:
周销售量
2
3
4
频数
20
50
30
(1) 根据上面统计结果, 求周销售量分别为2 吨, 3 吨和4 吨的频率;
(2) 已知每吨该商品的销售利润为2 千元, ξ 表示该种商品两周销售利润的
和(单位: 千元). 若以上述频率作为概率, 且各周的销售量相互独立, 求ξ
的分布列和数学期望.
-
3. 如图, 在棱长为1 的正方体ABCD −A′B′C′D′ 中, AP = BQ = b (0 <
A′D, 截面PQGH
AD′.
(1) 证明: 平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;
(2) 证明: 截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值, 并求出这个值;
(3) 若D′E 与平面PQEF 所成的角为45◦, 求D′E 与平面PQGH 所成
角的正弦值.
A
B
E
F
G
H
P
Q
C
D
A′
B′
C′
D′
463
-
4. 在直角坐标系xOy 中, 点P 到两点
(
0, −
√
3
)
,
(
0,
√
3
)
的距离之和为4,
设点P 的轨迹为C, 直线y = kx + 1 与C 交于A, B 两点.
(1) 写出C 的方程;
(2) 若# »
OA ⊥# »
OB, 求k 的值;
(3) 若点A 在第一象限, 证明: 当k > 0 时, 恒有
# »
OA
>
# »
OB
.
-
5. 在数列{an} , {bn} 中, a1 = 2, b1 = 4, 且an, bn, an+1 成等差数列, bn,
an+1, bn+1 成等比数列.
(1) 求a2, a3, a4 及b2, b3, b4, 由此猜测{an}, {bn} 的通项公式, 并证明你
的结论;
(2) 证明:
1
a1 + b1
+
1
a2 + b2
+ · · · +
1
an + bn
< 5
12.
-
6. 设函数f(x) = ln x
1 + x −ln x + ln(x + 1).
(1) 求f(x) 的单调区间和极值;
(2) 是否存在实数a, 使得关于x 的不等式f(x) ⩾a 的解集为(0, +∞)?
若存在, 求a 的取值范围; 若不存在, 试说明理由.
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