2008年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2008年陕西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. sin 330◦等于 ( ) √ 3 2 2 2 (D) √ 3 2 5分
   A. − B. −1 C. 1
2. 2. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合A = {1, 3}, B = {3, 4, 5}, 则集合 ∁U(A ∩B) = ( ) 5分
   A. {3} B. {4, 5} C. {3, 4, 5} D. {1, 2, 4, 5}
3. 3. 某林场有树苗30000 棵, 其中松树苗4000 棵. 为调查树苗的生长情况, 采用分层抽样的方法抽取一个容量为150 的样本, 则样本中松树苗的数量 为 ( ) 5分
   A. 30 B. 25 C. 20 D. 15
4. 4. 已知{an} 是等差数列, a1 + a2 = 4, a7 + a8 = 28, 则该数列前10 项和S10 等于 ( ) 5分
   A. 64 B. 100 C. 110 D. 120
5. 5. 直线 √ 3x −y + m = 0 与圆x2 + y2 −2x −2 = 0 相切, 则实数m 等于( ) √ 3 或 √ 3 (B) −3 √ 3 或3 √ 3 (C) √ 3 或− √ 3 √ 3 或3 √ 3 5分
   A. −3 D. −
6. 6. “a = 1 8”是“对任意的正数x, 2x + a x ⩾1”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 已知函数f(x) = 2x+3, f −1(x) 是f(x) 的反函数, 若mn = 16 (m, n ∈R+), 则f −1(m) + f −1(n) 的值为 ( ) 5分
   A. 10 B. 4 C. 1 D. −2
8. 8. 长方体ABCD −A1B1C1D1 的各顶点都在半径为1 的球面上, 其中 AB : AD : AA1 = 2 : 1 : √ 3, 则两A, B 点的球面距离为 ( ) 4 3 2 3 5分
   A. π B. π C. π D. 2π
9. 9. 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别是F1, F2, 过F1 作 倾斜角为30◦的直线交双曲线右支于M 点. 若MF2 垂直于x 轴, 则双曲 线的离心率为 ( ) (A) √ 6 (B) √ 3 (C) √ 2 (D) √ 3 3 5分
10. 10. 如图, α ⊥β, α ∩β = l, A ∈α, B ∈β, A, B 到l 的距离分别是a 和b, AB 与α, β 所成的角分别是θ 和φ, AB 在α, β 内的射影分别是m 和n, 若 ( ) a b A B l β α 5分
    A. > b, 则 A. θ > φ, m < n B. θ > φ, m > n C. θ < φ, m < n D. θ < φ, m > n
11. 11. 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy (x, y ∈R), f(1) = 2, 则f(−2) 等于 ( ) 5分
    A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
12. 12. 为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关 数据组成传输信息. 设定原信息为a0a1a2, ai ∈{0, 1} (i = 0, 1, 2), 传 输信息为h0a0a1a2h1, 其中h0 = a0 ⊕a1, h1 = h0 ⊕a2, ⊕运算规则为: 0 ⊕0 = 0, 0 ⊕1 = 1, 1 ⊕0 = 1, 1 ⊕1 = 0. 例如原信息为111, 则传输信息 为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错, 则下列 接收信息一定有误的是 ( ) 5分
    A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 若c = √ 2, b = √ 6, . 5分
   B. = 120◦, 则a =
2. 2. ( 1 −2 x )7 的展开式中1 x2 的系数为 . (用数字作答) 5分
3. 3. 关于平面向量a, b, c. 有下列三个命题: ①若a · b = a · c, 则b = c; ②若a = (1, k), b = (−2, 6), a b, 则k = −3; ③非零向量a 和b 满足|a| = |b| = |a −b|, 则a 与a + b 的夹角为60◦. 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) 5分
4. 4. 某地奥运火炬接力传递路线共分6 段, 传递活动分别由6 名火炬手完成. 如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生, 最后一棒火炬手只能从 甲、乙两人中产生, 则不同的传递方案共有 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 2 sin x 4 cos x 4 + √ 3cosx 2. (1) 求函数f(x) 的最小正周期及最值; (2) 令g(x) = f ( x + π 3 ) , 判断函数g(x) 的奇偶性, 并说明理由.
2. 2. 一个口袋中装有大小相同的2 个红球,3 个黑球和4 个白球, 从口袋中一次 摸出一个球, 摸出的球不再放回. (1) 连续摸球2 次, 求第一次摸出黑球, 第二次摸出白球的概率; (2) 如果摸出红球, 则停止摸球, 求摸球次数不超过3 次的概率.
3. 3. 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示, 截面为 A1B1C1, ∠BAC = 90◦, A1A ⊥平面ABC, A1A = √ 3, AB = AC = 2A1C1 = 2, D 为BC 中点. (1) 证明: 平面A1AD ⊥平面BCC1B1; (2) 求二面角A −CC1 −B 的大小. A B D C A1 B1 C1 477
4. 4. 已知数列{an} 的首项a1 = 2 3, an+1 = 2an an + 1, n = 1, 2, · · · . (1) 证明: 数列 { 1 an −1 } 是等比数列; (2) 数列 { n an } 的前n 项和Sn.
5. 5. 已知抛物线C: y = 2x2, 直线y = kx + 2 交C 于A, B 两点, M 是线段 AB 的中点, 过M 作x 轴的垂线交C 于点N. (1) 证明: 抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行; (2) 是否存在实数k 使# » NA · # » NB = 0, 若存在, 求k 的值; 若不存在, 说明 理由.
6. 6. 设函数f(x) = x3 + ax2 −a2x + 1, g(x) = ax2 −2x + 1, 其中实数a̸ = 0. (1) 若a > 0, 求函数f(x) 的单调区间; (2) 当函数y = f(x) 与y = g(x) 的图象只有一个公共点且g(x) 存在最小 值时, 记g(x) 的最小值为h(a), 求h(a) 的值域; (3) 若f(x) 与g(x) 在区间(a, a + 2) 内均为增函数, 求a 的取值范围. 478

原卷配图（含真实几何/应用题图示）