2008年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2008年陕西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数i(2 + i) 1 −2i 等于 ( ) 5分
   A. i B. −i C. 1 D. −1
2. 2. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合A = {x | x2 −3x + 2 = 0}, B = {x | x = 2a, a ∈A}, 则集合∁U(A ∪B) 中元素的个数为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 3. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 若c = √ 2, b = √ 6, ( ) (A) √ 6 (C) √ 3 (D) √ 2 5分
   B. = 120◦, 则a 等于 B. 2
4. 4. 已知{an} 是等差数列, a1 + a2 = 4, a7 + a8 = 28, 则该数列前10 项和S10 等于 ( ) 5分
   A. 64 B. 100 C. 110 D. 120
5. 5. 直线 √ 3x −y + m = 0 与圆x2 + y2 −2x −2 = 0 相切, 则实数m 等于( ) (A) √ 3 或− √ 3 √ 3 或3 √ 3 (C) −3 √ 3 或 √ 3 (D) −3 √ 3 或3 √ 3 5分
   B. −
6. 6. “a = 1 8”是“对任意的正数x, 2x + a x ⩾1”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 已知函数f(x) = 2x+3, f −1(x) 是f(x) 的反函数, 若mn = 16 (m, n ∈R+), 则f −1(m) + f −1(n) 的值为 ( ) 5分
   A. −2 B. 1 C. 4 D. 10
8. 8. 双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别是F1, F2, 过F1 作 倾斜角为30◦的直线交双曲线右支于M 点. 若MF2 垂直于x 轴, 则双曲 线的离心率为 ( ) (A) √ 6 (B) √ 3 (C) √ 2 (D) √ 3 3 5分
9. 9. 如图, α ⊥β, α ∩β = l, A ∈α, B ∈β, A, B 到l 的距离分别是a 和b, AB 与α, β 所成的角分别是θ 和φ, AB 在α, β 内的射影分别是m 和n, 若 ( ) a b A B l β α 5分
   A. > b, 则 A. θ > φ, m > n B. θ > φ, m < n C. θ < φ, m < n D. θ < φ, m > n
10. 10. 已知实数x, y 满足        y ⩾1, y ⩽2x −1, x + y ⩽m, 如果目标函数z = x−y 的最小值为−1, 则实数m 等于 ( ) 5分
    A. 7 B. 5 C. 4 D. 3
11. 11. 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy (x, y ∈R), f(1) = 2, 则f(−3) 等于 ( ) 5分
    A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
12. 12. 为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关 数据组成传输信息. 设定原信息为a0a1a2, ai ∈{0, 1} (i = 0, 1, 2), 传 输信息为h0a0a1a2h1, 其中h0 = a0 ⊕a1, h1 = h0 ⊕a2, ⊕运算规则为: 0 ⊕0 = 0, 0 ⊕1 = 1, 1 ⊕0 = 1, 1 ⊕1 = 0. 例如原信息为111, 则传输信息 为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错, 则下列 接收信息一定有误的是 ( ) 5分
    A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. lim n→∞ (1 + a)n + 1 n + a = 2, 则a = . 5分
2. 2. 长方体ABCD−A1B1C1D1 的各顶点都在球O 的球面上, 其中AB : AD : AA1 = 1 : 1 : √ 2. A, B 两点的球面距离记为m, A, D1 两点的球面距离 记为n, 则m n 的值为 . 5分
3. 3. 关于平面向量a, b, c. 有下列三个命题: ①若a · b = a · c, 则b = c; ②若a = (1, k), b = (−2, 6), a b, 则k = −3; ③非零向量a 和b 满足|a| = |b| = |a −b|, 则a 与a + b 的夹角为60◦. 其中真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) 5分
4. 4. 某地奥运火炬接力传递路线共分6 段, 传递活动分别由6 名火炬手完成. 如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生, 最后一棒火炬手只能从 甲、乙两人中产生, 则不同的传递方案共有 种. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 2 sin x 4 cos x 4 −2 √ 3sin2 x 4 + √ 3. (1) 求函数f(x) 的最小正周期及最值; (2) 令g(x) = f ( x + π 3 ) , 判断函数g(x) 的奇偶性, 并说明理由.
2. 2. 某射击测试规则为: 每人最多射击3 次, 击中目标即终止射击, 第i 次击中 目标得4 −i (i = 1, 2, 3) 分, 3 次均未击中目标得0 分. 已知某射手每次 击中目标的概率为0.8, 其各次射击结果互不影响. (1) 求该射手恰好射击两次的概率; (2) 该射手的得分记为ξ, 求随机变量ξ 的分布列及数学期望.
3. 3. 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示, 截面为 A1B1C1, ∠BAC = 90◦, A1A ⊥平面ABC, A1A = √ 3, AB = √ 2, AC = 2, A1C1 = 1, BD DC = 1 2. (1) 证明: 平面A1AD ⊥平面BCC1B1; (2) 求二面角A −CC1 −B 的大小. A B D C A1 B1 C1 475
4. 4. 已知抛物线C: y = 2x2, 直线y = kx + 2 交C 于A, B 两点, M 是线段 AB 的中点, 过M 作x 轴的垂线交C 于点N. (1) 证明: 抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行; (2) 是否存在实数k 使# » NA · # » NB = 0, 若存在, 求k 的值; 若不存在, 说明 理由.
5. 5. 已知函数f(x) = kx + 1 x2 + c (c > 0 且c̸ = 1, k ∈R) 恰有一个极大值点和一 个极小值点, 其中一个是x = −c. (1) 求函数f(x) 的另一个极值点; (2) 求函数f(x) 的极大值M 和极小值m, 并求M −m ⩾1 时k 的取值 范围.
6. 6. 已知数列{an} 的首项a1 = 3 5, an+1 = 3an 2an + 1, n = 1, 2, · · · . (1) 求{an} 的通项公式; (2) 证明: 对任意的x > 0, an ⩾ 1 1 + x − 1 (1 + x)2 ( 2 3n −x ) , n = 1, 2, · · · ; (3) 证明: a1 + a2 + · · · + an > n2 n + 1. 476

原卷配图（含真实几何/应用题图示）