2009年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 函数f(x) = x3 + 1 的反函数f −1(x) = . 5分
2. 2. 已知集合A = {x | x ⩽1}, B = {x | x ⩾a}, 且A ∪B = R, 则实数a 的 取值范围是 . 5分
3. 3. 若行列式  4 5 x 1 x 3 7 8 9  中, 元素4 的代数余子式大于0, 则x 满足的条件 是 . 5分
4. 4. 某算法的程序框如图所示, 则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 . 开始 输入实数x x > 1 y ←x −2 y ←2x 输出y 结束 是 否 5分
5. 5. 如图, 若正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面边长为2, 高为4, 则异面直 线BD1 与AD 所成角的大小是 . (结果用反三角函数表示) A B C D A1 B1 C1 D1 5分
6. 6. 若球O1、O2 表面积之比S1 S2 = 4, 则它们的半径之比R1 R2 = . 5分
7. 7. 已知实数x、y 满足        y ⩽2x, y ⩾−2x, x ⩽3, 则目标函数z = x−2y 的最小值是 . 5分
8. 8. 若等腰直角三角形的直角边长为2, 则以一直角边所在的直线为轴旋转一 周所成的几何体体积是 . 5分
9. 9. 过点A(1, 0) 作倾斜角为π 4 的直线, 与抛物线y2 = 2x 交于M、N 两点, 则|MN| = . 5分
10. 10. 函数y = 2cos2x + sin 2x 的最小值是 . 5分
11. 11. 若某学校要从5 名男生和2 名女生中选出3 人作为上海世博会的志愿者, 则选出的志愿者中男女生均不少于1 名的概率是 . (结果用最简分 数表示) 5分
12. 12. 已知F1、F2 是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点, P 为椭圆C 上一点, 且# » PF1 ⊥# » PF2. 若△PF1F2 的面积为9, 则b = . 5分
13. 13. 已知函数f(x) = sin x + tan x. 项数为27 的等差数列{an} 满足 an ∈ ( −π 2 , π 2 ) , 且公差d̸ = 0. 若f(a1) + f(a2) + · · · + f(a27) = 0, 则当k = 时, f(ak) = 0. 5分
14. 14. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状, 相邻街距都为1, 两街道相交 的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系, 现有下述 格点(−2, 2), (3, 1), (3, 4), (−2, 3), (4, 5) 为报刊零售点. 请确定一个格 点 为发行站, 使5 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知直线l1: (k −3)x + (4 −k)y + 1 = 0 与l2: 2(k −3)x −2y + 3 = 0 平 行, 则k 的值是 ( ) 5分
   A. 1 或3 B. 1 或5 C. 3 或5 D. 1 或2
2. 2. 如图, 已知三棱锥的底面是直角三角形, 直角边长分别为3 和4, 过直角顶 点的侧棱长为4, 且垂直于底面, 该三棱锥的主视图是 ( ) O 4 z y 4 x 3 (A) 4 4 (B) 4 3 (C) 4 3 (D) 4 5 5分
3. 3. 点P(4, −2) 与圆x2 + y2 = 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) 5分
   A. (x −2)2 + (y + 1)2 = 1 B. (x −2)2 + (y + 1)2 = 4 C. (x + 4)2 + (y −2)2 = 4 D. (x + 2)2 + (y −1)2 = 1
4. 4. 在发生某公共卫生事件期间, 有专业机构认为该事件在一段时间没有发生 在规模群体感染的标志为“连续10 天, 每天新增疑似病例不超过7 人”. 根 据过去10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据, 一定符合该标志的 是 ( ) 5分
   A. 甲地: 总体均值为3, 中位数为4 B. 乙地: 总体均值为1, 总体方差大于0 C. 丙地: 中位数为2, 众数为3 D. 丁地: 总体均值为2, 总体方差为3

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 已知复数z = a + bi (a、b ∈R+) (i 是虚数单位) 是方程x2 −4x + 5 = 0 的根. 复数w = u + 3i (u ∈R) 满足|w −z| < 2 √ 5, 求u 的取值范围.
2. 2. 已知△ABC 的角A、B、C 所对的边分别是a、b、c, 设向量m = (a, b), n = (sin B, sin A), p = (b −2, a −2). (1) 若m n, 求证: △ABC 为等腰三角形; (2) 若m ⊥p, 边长c = 2, 角C = π 3 , 求△ABC 的面积. 555
3. 3. 有时可用函数f(x) =      0.1 + 15 ln a x ⩽6, x −4.4 x −4 , x > 6, 描述学习某学科知识的 掌握程度, 其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N∗), f(x) 表示对该学 科知识的掌握程度, 正实数a 与学科知识有关. (1) 证明: 当x ⩾7 时, 掌握程度的增加量f(x + 1) −f(x) 总是下降; (2) 根据经验, 学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115, 121], (121, 127], (121, 133]. 当学习某学科知识6 次时, 掌握程度是85%, 请确定 相应的学科.
4. 4. 已知双曲线C 的中心是原点, 右焦点为F( √ 3, 0), 一条渐近线m: x + √ 2y = 0, 设过点A(−3 √ 2, 0) 的直线l 的方向向量e = (1, k). (1) 求双曲线C 的方程; (2) 若过原点的直线a l, 且a 与l 的距离为 √ 6, 求k 的值; (3) 证明: 当k > √ 2 2 时, 在双曲线C 的右支上不存在点Q, 使之到直线l 的距离为 √ 6.
5. 5. 已知{an} 是公差为d 的等差数列, {bn} 是公比为q 的等比数列. (1) 若an = 3n + 1, 是否存在m、k ∈N∗, 有am + am+1 = ak? 请说明理 由; (2) 若bn = aqn (a、q 为常数, 且aq̸ = 0), 对任意m 存在k, 有 bm · bm+1 = bk, 试求a、q 满足的充要条件; (3) 若an = 2n + 1, bn = 3n, 试确定所有的p, 使数列{bn} 中存在某个连 续p 项的和是数列{an} 中的一项, 请证明. 556

原卷配图（含真实几何/应用题图示）