2009年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 若复数z 满足z(1 + i) = 1 −i (i 是虚数单位), 则其共轭复数z = . 5分
2. 2. 已知集合A = {x | x ⩽1}, B = {x | x ⩾a}, 且A ∪B = R, 则实数a 的 取值范围是 . 5分
3. 3. 若行列式  4 5 x 1 x 3 7 8 9  中, 元素4 的代数余子式大于0, 则x 满足的条件 是 . 5分
4. 4. 某算法的程序框如图所示, 则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 . 开始 输入实数x x > 1 y ←x −2 y ←2x 输出y 结束 是 否 5分
5. 5. 如图, 若正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面边长为2, 高为4, 则异面直 线BD1 与AD 所成角的大小是 . (结果用反三角函数表示) A B C D A1 B1 C1 D1 5分
6. 6. 函数y = 2cos2x + sin 2x 的最小值是 . 5分
7. 7. 某学校要从5 名男生和2 名女生中选出2 人作为上海世博会志愿者, 若 用随机变量ξ 表示选出的志愿者中女生的人数, 则数学期望Eξ = . (结果用最简分数表示) 5分
8. 8. 已知三个球的半径R1, R2, R3 满足R1 + 2R2 = 3R3, 则它们的表面积S1, S2, S3 满足的等量关系是 . 5分
9. 9. 已知F1、F2 是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点, P 为椭圆C 上一点, 且# » PF1 ⊥# » PF2. 若△PF1F2 的面积为9, 则b = . 5分
10. 10. 在极坐标系中, 由三条直线θ = 0, θ = π 3 , ρ cos θ + ρ sin θ = 1 围成图形的 面积是 . 5分
11. 11. 当0 ⩽x ⩽1, 不等式sin πx 2 ⩾kx 成立, 则实数k 的取值范围是 . 5分
12. 12. 已知函数f(x) = sin x + tan x. 项数为27 的等差数列{an} 满足 an ∈ ( −π 2 , π 2 ) , 且公差d̸ = 0. 若f(a1) + f(a2) + · · · + f(a27) = 0, 则当k = 时, f(ak) = 0. 5分
13. 13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状, 相邻街距都为1, 两街道相交的 点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系, 现有下述格 点(−2, 2), (3, 1), (3, 4), (−2, 3), (4, 5), (6, 6) 为报刊零售点. 请确定一个格 点(除零售点外) 为发行站, 使6 个零售点沿街道到发行站之间路程 的和最短. 5分
14. 14. 将函数y = √ 4 + 6x −x2 −2 (x ∈[0, 6]) 的图象绕坐标原点逆时针方 向旋转角θ (0 ⩽θ ⩽α), 得到曲线C. 若对于每一个旋转角θ, 曲线 AA1 = BC = AB = 2 都是一个函数的图象, 则α 的最大值为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. “−2 ⩽a ⩽2”是“实系数一元二次方程x2 + ax + 1 = 0 有虚根”的 ( ) 5分
   A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 2. 若事件E 与F 相互独立, 且P (E) = P (F) = 1 4, 则P (E ∩F) 的值等 于 ( ) 16 4 2 5分
   A. 0 B. 1 C. 1 D. 1
3. 3. 在发生某公共卫生事件期间, 有专业机构认为该事件在一段时间没有发生 在规模群体感染的标志为“连续10 天, 每天新增疑似病例不超过7 人”. 根 据过去10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据, 一定符合该标志的 是 ( ) 5分
   A. 甲地: 总体均值为3, 中位数为4 B. 乙地: 总体均值为1, 总体方差大于0 C. 丙地: 中位数为2, 众数为3 D. 丁地: 总体均值为2, 总体方差为3
4. 4. 过圆C: (x −1)2 + (y −1)2 = 1 的圆心, 作直线分别交x、y 正半轴 于点A、B, △AOB 被圆分成四部分(如图), 若这四部分图形面积满足 SI + SIV = SII + SIII, 则直线AB 有 ( ) x y B A C II IV III I O • 5分
   A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 3 条

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AA1 = BC = AB = 2, AB ⊥BC, 求二面角B1 −A1C −C1 的大小. B C A B1 C1 A1
2. 2. 有时可用函数f(x) =      0.1 + 15 ln a x ⩽6, x −4.4 x −4 , x > 6, 描述学习某学科知识的 掌握程度, 其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N∗), f(x) 表示对该学 科知识的掌握程度, 正实数a 与学科知识有关. (1) 证明: 当x ⩾7 时, 掌握程度的增加量f(x + 1) −f(x) 总是下降; (2) 根据经验, 学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115, 121], (121, 127], (121, 133]. 当学习某学科知识6 次时, 掌握程度是85%, 请 确定相应的学科. 553
3. 3. 已知双曲线C: x2 2 −y2 = 1, 设过点A(−3 √ 2, 0) 的直线l 的方向向量 (1) 当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时, 求直线l 的方程及l 与 m 的距离; (2) 证明: 当k > √ 2 2 时, 在双曲线C 的右支上不存在点Q, 使之到直线l 的距离为 √ 6.
4. 4. 已知函数y = f −1(x) 是y = f(x) 的反函数. 定义: 若对给定的实数 满足“a 和性质”; 若函数y = f(ax) 与y = f −1(ax) 互为反函数, 则称 y = f(x) 满足“a 积性质”. (1) 判断函数g(x) = x2 (x > 0) 是否满足“1 和性质”, 并说明理由; (2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数y = f(x) (x > 0) 对任何a > 0, 满足“a 积性质”. 求y = f(x) 的表达式.
5. 5. 已知{an} 是公差为d 的等差数列, {bn} 是公比为q 的等比数列. (1) 若an = 3n + 1, 是否存在m、k ∈N∗, 有am + am+1 = ak? 请说明理 由; (2) 找出所有数列{an} 和{bn}, 使对一切n ∈N∗, an+1 an = bn, 并说明理 由; (3) 若a1 = 5, d = 4, b1 = q = 3, 试确定所有的p, 使数列{an} 中存在某 个连续p 项的和是数列{bn} 中的一项, 请证明. 554

原卷配图（含真实几何/应用题图示）