2009年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合A = { x  −1 2 < x < 2 } , B = {x | x2 ⩽1}, 则A ∪B = ( ) (B) { x  −1 2 < x ⩽1 } 5分
   A. {x | −1 ⩽x < 2} C. {x | x < 2} D. {x | 1 ⩽x < 2}
2. 2. 已知向量a = (1, 0), b = (0, 1), c = ka + b (k ∈R), d = a −b. 如果 c d, 那么 ( ) 5分
   A. k = 1 且c 与d 同向 B. k = 1 且c 与d 反向 C. k = −1 且c 与d 同向 D. k = −1 且c 与d 反向
3. 3. 若 ( 1 + √ 2 )4 = a + b √ 2 (a, b 为有理数), 则a + b = ( ) 5分
   A. 33 B. 29 C. 23 D. 19
4. 4. 为了得到函数y = lg x + 3 10 的图象, 只需把函数y = lg x 的图象上所有的 点 ( ) 5分
   A. 向左平移3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度 B. 向右平移3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度 C. 向左平移3 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度 D. 向右平移3 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度
5. 5. 用数字1, 2, 3, 4, 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( ) 5分
   A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
6. 6. “α = π 6 ”是“cos 2α = 1 2”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 若正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面边长为1, AB1 与底面ABCD 成 60◦角, 则A1C1 到底面ABCD 的距离为 ( ) (A) √ 3 3 (C) √ 2 (D) √ 3 5分
   B. 1
8. 8. 设D 是正△P1P2P3 及其内部的点构成的集合, 点P0 是△P1P2P3 的中 心. 若集合S = {P | P ∈D, |PP0| ⩽|PPi|, i = 1, 2, 3}, 则集合S 表示 的平面区域是 ( ) 5分
   A. 三角形区域 B. 四边形区域 C. 五边形区域 D. 六边形区域

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若sin θ = −4 5, tan θ > 0, 则cos θ = . 5分
2. 2. 若数列{an} 满足: a1 = 1, an+1 = 2an(n ∈N∗), 则a5 = ; 前8 项 的和Sn = . (用数字作答) 5分
3. 3. 若实数x, y 满足        x + y −2 ⩾0, x ⩽4, y ⩽5, 则s = x + y 的最大值为 . 5分
4. 4. 已知函数f(x) = { 3x, x ⩽1, −x, x > 1. 若f(x) = 2, 则x = . 5分
5. 5. 椭圆x2 9 + y2 2 = 1 的焦点为F1, F2, 点P 在椭圆上. 若|PF1| = 4, 则 |PF2| = ; ∠F1PF2 的大小为 . 5分
6. 6. 设A 是整数集的一个非空子集. 对于k ∈A, 如果k −1 /∈A, 那么k 是A 的一个“孤立元”. 给定S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 由S 的3 个元素构成 的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有 个. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 2 sin(π −x) cos x. (1) 求f(x) 的最小正周期; (2) 求f(x) 在区间 [ −π 6 , π 2 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 如图, 四棱锥P −ABCD 的底面是正方形, PD ⊥ABCD, 点E 在棱PB 上. (1) 求证: 平面AEC ⊥平面PDB; (2) 当PD = √ 2AB 且E 为PB 的中点时, 求AE 与平面PDB 所成的 角的大小. A B C D E P
3. 3. 某学生在上学路上要经过4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的, 遇到红灯的概率都是1 3, 遇到红灯时停留的时间都是2 min. (1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2) 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率. 501
4. 4. 设函数f(x) = x3 −3ax + b (a̸ = 0). (1) 若曲线y = f(x) 在点(2, f(x)) 处与直线y = 8 相切, 求a, b 的值; (2) 求函数f(x) 的单调区间与极值点.
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 3, 右准线方程为 x = √ 3 3 . (1) 求双曲线C 的方程; (2) 已知直线x −y + m = 0 与双曲线C 交于不同的两点A, B, 且线段 AB 的中点在圆x2 + y2 = 5 上, 求m 的值.
6. 6. 设数列{an} 的通项公式为an = pn + q (n ∈N∗, P > 0). 数列{bm} 定 义如下: 对于正整数m, bm 是使得不等式an ⩾m 成立的所有n 中的最小 值. (1) 若p = 1 2, q = −1 3, 求b3; (2) 若p = 2, q = −1, 求数列{bm} 的前2m 项和公式; (3) 是否存在p 和q, 使得bm = 3m + 2 (m ∈N∗)? 如果存在, 求p 和q 的 取值范围; 如果不存在, 请说明理由. 502

原卷配图（含真实几何/应用题图示）