2009年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 在复平面内, 复数z = i(1 + 2i) 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 已知向量a、b 不共线, c = ka + b (k ∈R), d = a −b. 如果c d, 那 么 ( ) 5分
   A. k = 1 且c 与d 同向 B. k = 1 且c 与d 反向 C. k = −1 且c 与d 同向 D. k = −1 且c 与d 反向
3. 3. 为了得到函数y = lg x + 3 10 的图象, 只需把函数y = lg x 的图象上所有的 点 ( ) 5分
   A. 向左平移3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度 B. 向右平移3 个单位长度, 再向上平移1 个单位长度 C. 向左平移3 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度 D. 向右平移3 个单位长度, 再向下平移1 个单位长度
4. 4. 若正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面边长为1, AB1 与底面ABCD 成 60◦角, 则A1C1 到底面ABCD 的距离为 ( ) (A) √ 3 3 (C) √ 2 (D) √ 3 5分
   B. 1
5. 5. “α = π 6 + 2kπ (k ∈Z)”是“cos 2α = 1 2”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 若 ( 1 + √ 2 )5 = a + b √ 2 (a, b 为有理数), 则a + b = ( ) 5分
   A. 45 B. 55 C. 70 D. 80
7. 7. 用0 到9 这10 个数字, 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) 5分
   A. 324 B. 328 C. 360 D. 648
8. 8. 点P 在直线l: y = x −1 上, 若存在过P 的直线交抛物线y = x2 于A, B 两点, 且|PA = |AB|, 则称点P 为“A 点”, 那么下列结论中正确的是( ) 5分
   A. 直线l 上的所有点都是“A 点” B. 直线l 上仅有有限个点是“A 点” C. 直线l 上的所有点都不是“A 点” D. 直线l 上有无穷多个点(但不是所有的点) 是“A 点”

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. lim x→1 x√x −x x −1 = . 5分
2. 2. 若实数x, y 满足        x + y −2 ⩾0, x ⩽4, y ⩽5, 则s = y −x 的最小值为 . 5分
3. 3. 设f(x) 是偶函数. 若曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线的斜率为1, 则该曲线在(−1, f(−1)) 处的切线的斜率为 . 5分
4. 4. 椭圆x2 9 + y2 2 = 1 的焦点为F1, F2, 点P 在椭圆上. 若|PF1| = 4, 则 |PF2| = ; ∠F1PF2 的大小为 . 5分
5. 5. 若函数f(x) =        1 x, x < 0, (1 3 )x , x ⩾0, 则不等式|f(x)| ⩾1 3 的解集为 . 5分
6. 6. 已知数列{an} 满足: a4n−3 = 1, a4n−1 = 0, a2n = an, n ∈N∗, 则 a2009 = ; a2014 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, B = π 3 , cos A = 4 5, √ 3. (1) 求sin C 的值; (2) 求△ABC 的面积.
2. 2. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, PA ⊥底面ABC, PA = AB, ∠ABC = 60◦, ∠BCA = 90◦, 点D, E 分别在棱PB, PC 上, 且DE BC. (1) 求证: BC ⊥平面PAC; (2) 当D 为PB 的中点时, 求AD 与平面PAC 所成的角的大小; (3) 是否存在点E 使得二面角A −DE −P 为直二面角? 并说明理由. C B D A E P
3. 3. 某学生在上学路上要经过4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的, 遇到红灯的概率都是1 3, 遇到红灯时停留的时间都是2 min. (1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ 的分布列及期望. 499
4. 4. 设函数f(x) = xekx (k̸ = 0). (1) 求曲线y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 求函数f(x) 的单调区间; (3) 若函数f(x) 在区间(−1, 1) 内单调递增, 求k 的取值范围.
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √ 3, 右准线方程为 x = √ 3 3 . (1) 求双曲线C 的方程; (2) 设直线l 是圆O: x2 + y2 = 2 上动点P(x0, y0) (x0y0̸ = 0) 处的切线, l 与双曲线C 交于不同的两点A, B, 证明∠AOB 的大小为定值.
6. 6. 已知数集A = {a1, a2, · · · , an} (1 ⩽a1 < a2 < · · · an, n ⩾2) 具有性质 P: 对任意的i, j (1 ⩽i ⩽j ⩽n), aiaj 与aj ai 两数中至少有一个属于A. (1) 分别判断数集{1, 3, 4} 与{1, 2, 3, 6} 是否具有性质P, 并说明理由; (2) 证明: a1 = 1, 且 a1 + a2 + · · · + an a−1 1 + a−1 2 + · · · + a−1 n = an; (3) 证明: 当n = 5 时, a1, a2, a3, a4, a5 成等比数列. 500

原卷配图（含真实几何/应用题图示）