2009年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年四川（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合S = {x | |x| < 5}, T = {x | (x + 7)(x −3) < 0}, 则S ∩T = ( ) 5分
   A. {x | −7 < x < −5} B. {x | 3 < x < 5} C. {x | −5 < x < 3} D. {x | −7 < x < 5}
2. 2. 函数y = 2x+1 (x ∈R) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = 1 + log2x (x > 0) B. y = log2(x −1) (x > 1) C. y = −1 + log2x (x > 0) D. y = log2(x + 1) (x > −1)
3. 3. 等差数列{an} 的公差不为零, 首项a1 = 1, a2 是a1 和a5 的等比中项, 则 数列{an} 的前10 项之和是 ( ) 5分
   A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
4. 4. 已知函数f(x) = sin ( x −π 2 ) (x ∈R), 下面结论错误的是 ( ) [ 0, π 2 ] 上是增函数 5分
   A. 函数f(x) 的最小正周期为2π B. 函数f(x) 在区间 C. 函数f(x) 的图象关于直线x = 0 对称 D. 函数f(x) 是奇函数
5. 5. 设矩形的长为a, 宽为b, 其比满足b : a = √ 5 −1 2 ≈0.618, 这种矩形给人 以美感, 称为黄金矩形. 黄金矩形常应用于工艺品设计中. 下面是某工艺品 厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次: 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次: 0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数, 与标准值0.618 比较, 正 确结论是 ( ) 5分
   A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
6. 6. 如图, 已知六棱锥P −ABCDEF 的底面是正六边形, PA ⊥平面ABC, PA = 2AB, 则下列结论正确的是 ( ) A B C D E F P 平面PAE 5分
   A. PB ⊥AD B. 平面PAB ⊥平面PBC C. 直线BC D. 直线PD 与平面ABC 所成的角为45◦
7. 7. 已知a, b, c, d 为实数, 且c > d. 则“a > b”是“a −c > b −d”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 已知双曲线x2 2 −y2 b2 = 1 (b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 其一条渐近 线方程为y = x, 点P( √ 3, y0) 在该双曲线上, 则# » PF1 · # » PF2 = ( ) 5分
   A. −12 B. −2 C. 0 D. 4
9. 9. 如图, 在半径为3 的球面上有A、B、C 三点, ∠ABC = 90◦, BA = BC, 球心O 到平面ABC 的距离是3 √ 2 2 , 则B、C 两点的球面距离是 ( ) O B C A • 3 3 5分
   A. π B. π C. 4π D. 2π
10. 10. 某企业生产甲、乙两种产品, 已知生产每吨甲产品要用A 原料3 吨、B 原 料2 吨; 生产每吨乙产品要用A 原料1 吨、B 原料3 吨. 销售每吨甲产品 可获得利润5 万元, 每吨乙产品可获得利润3 万元, 该企业在一个生产周 期内消耗A 原料不超过13 吨, B 原料不超过18 吨, 那么该企业可获得最 大利润是 ( ) 5分
    A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元
11. 11. 2 位男生和3 位女生共5 位同学站成一排, 若男生甲不站两端, 3 位女生中 有且只有两位女生相邻, 则不同排法的种数是 ( ) 5分
    A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
12. 12. 已知函数f(x) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有xf(x + 1) = (1 + x)f(x), 则f (5 2 ) 的值是 ( ) 2 2 5分
    A. 0 B. 1 C. 1 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 抛物线y2 = 4x 的焦点到准线的距离是 . 5分
2. 2. ( 2x −1 2x )6 的展开式的常数项是 . (用数字作答) 5分
3. 3. 如图, 已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧棱CC1 的中点, 则异面直线AB1 和BM 所成的角的大小是 . C B A C1 B1 A1 M 5分
4. 4. 设V 是已知平面M 上所有向量的集合. 对于映射f: V →V , a ∈V , 记 µ 都有f(λa + µb) = λf(a) + µf(b), 则f 称为平面M 上的线性变换. 现 有下列命题: ①设f 是平面M 上的线性变换, a、b ∈V , 则f(a + b) = f(a) + f(b); ②若e 是平面M 上的单位向量, 对a ∈V , 设f(a) = a + e, 则f 是平 面M 上的线性变换; ③对a ∈V , 设f(a) = −a, 则f 是平面M 上的线性变换; ④设f 是平面M 上的线性变换, a ∈V , 则对任意实数k 均有f(ka) = kf(a). 其中真命题是 . (写出所有真命题的序号) 5分
   A. 的象为f(a). 若映射f: V →V 满足: 对所有a, b ∈V 及任意实数λ,

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, A, B 为锐角, 角A, B, C 所对应的边分别为a, b, c, 且 sin A = √ 5 5 , sin B = √ 10 10 . (1) 求A + B 的值; (2) 若a −b = √ 2 −1, 求a, b, c 的值.
2. 2. 为振兴旅游业, 四川省2009 年面向国内发行总量为2000 万张的熊猫优惠 卡, 向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡), 向省内人士发行的是熊猫 银卡(简称银卡). 某旅游公司组织了一个有36 名游客的旅游团到四川名 胜旅游, 其中3 4 是省外游客, 其余是省内游客. 在省外游客中有1 3 持金卡, 在省内游客中有2 3 持银卡. (1) 在该团中随机采访2 名游客, 求恰有1 人持银卡的概率; (2) 在该团中随机采访2 名游客, 求其中持金卡与持银卡人数相等的概率. 559
3. 3. 如图, 正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直, △ABE 是等腰直角三角形, AB = AE, FA = FE, ∠AEF = 45 ◦. (1) 求证: EF ⊥平面BCE; (2) 设线段CD、AE 的中点分别为P、M, 求证: PM 平面BCE; (3) 求二面角F −BD −A 的大小. A C D E P F M B
4. 4. 已知函数f(x) = x3 + 2bx2 + cx −2 的图象在与x 轴交点处的切线方程是 y = 5x −10. (1) 求函数f(x) 的解析式; (2) 设函数g(x) = f(x) + 1 3mx, 若g(x) 的极值存在, 求实数m 的取值范 围以及函数g(x) 取得极值时对应的自变量x 的值.
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 √ 2 2 , 右准线方程为x = 2. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 过点F1 的直线l 与该椭圆交于M, N 两点, 且 # » F2M + # » F2N  = 2 √ 26 3 , 求直线l 的方程.
6. 6. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 对任意的正整数n, 都有an = 5Sn + 1 成 立, 记bn = 4 + an 1 −an (n ∈N∗). (1) 求数列{an} 与数列{bn} 的通项公式; (2) 设数列{bn} 的前n 项和为Rn, 是否存在正整数k, 使得Rn ⩾4k 成 立? 若存在, 找出一个正整数k; 若不存在, 请说明理由; (3) 记cn = b2n −b2n−1 (n ∈N∗), 设数列{cn} 的前n 项和为Tn, 求证: 对任意正整数n 都有Tn < 3 2. 560

原卷配图（含真实几何/应用题图示）