2009年大纲1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年大纲1（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {4, 5, 7, 9}, B = {3, 4, 7, 8, 9}, 全集U = A ∪B, 则集合 ∁U(A ∩B) 中的元素共有 ( ) 5分
   A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
2. 2. 已知 z 1 + i = 2 + i, 则复数z = ( ) 5分
   A. −1 + 3i B. 1 −3i C. 3 + i D. 3 −i
3. 3. 不等式  x + 1 x −1  < 1 的解集为 ( ) 5分
   A. {x | 0 < x < 1} ∪{x | x > 1} B. {x | 0 < x < 1} C. {x | −1 < x < 0} D. {x | x < 0}
4. 4. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的渐近线与抛物线y = x2 + 1 相切, 则该双曲线的离心率等于 ( ) (A) √ 3 (C) √ 5 (D) √ 6 5分
   B. 2
5. 5. 甲组有5 名男同学, 3 名女同学; 乙组有6 名男同学、2 名女同学. 若从甲、 乙两组中各选出2 名同学, 则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共 有 ( ) 5分
   A. 150 种 B. 180 种 C. 300 种 D. 345 种
6. 6. 设a、b、c 是单位向量, 且a · b = 0, 则(a −c) · (b −c) 的最小值为( ) (B) √ 2 −2 √ 2 5分
   A. −2 C. −1 D. 1 −
7. 7. 已知三棱柱ABC −A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面ABC 上的射影为BC 的中点, 则异面直线AB 与CC1 所成的角的余弦值为( ) (A) √ 3 4 (B) √ 5 4 (C) √ 7 4 4 5分
   D. 3
8. 8. 如果函数y = 3 cos (2x + φ) 的图象关于点 (4π 3 , 0 ) 中心对称, 那么|φ| 的 最小值为 ( ) 6 4 3 2 5分
   A. π B. π C. π D. π
9. 9. 已知直线y = x + 1 与曲线y = ln(x + a) 相切, 则a 的值为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. −1 D. −2
10. 10. 已知二面角α −l −β 为60◦, 动点P、Q 分别在面α、β 内, P 到β 的距 离为 √ 3, Q 到α 的距离为2 √ 3, 则P、Q 两点之间距离的最小值为( ) (A) √ 2 √ 3 5分
    B. 2 C. 2 D. 4
11. 11. 函数f(x) 的定义域为R, 若f(x + 1) 与f(x −1) 都是奇函数, 则 ( ) 5分
    A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 是奇函数 C. f(x) = f(x + 2) D. f(x + 3) 是奇函数
12. 12. 已知椭圆C: x2 2 + y2 = 1 的右焦点为F, 右准线为l, 点A ∈l, 线段AF 交C 于点B. 若# » FA = 3# » FB, 则 # » AF  = ( ) (A) √ 2 (C) √ 3 5分
    B. 2 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (x −y)10 的展开式中, x7y3 的系数与x3y7 的系数之和等于 . 5分
2. 2. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S9 = 72, 则a2 + a4 + a9 = . 5分
3. 3. 直三棱柱ABC −A1B1C1 的各顶点都在同一球面上. 若AB = AC = AA1 = 2, ∠BAC = 120◦, 则此球的表面积等于 . 5分
4. 4. 若π 4 < x < π 2 , 则函数y = tan 2xtan3x 的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c, 已知a2 −c2 = 2b, 且sin A cos C = 3 cos A sin C, 求b.
2. 2. 如图, 四棱锥S −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, SD ⊥底面ABCD, AD = √ 2, DC = SD = 2, 点M 在侧棱SC 上, ∠ABM = 60◦. (1) 证明: M 是侧棱SC 的中点; (2) 求二面角S −AM −B 的大小. A B C D S M
3. 3. 甲、乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利, 比赛 结束, 假设在一局中, 甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 各局比赛 结果相互独立, 已知前2 局中, 甲、乙各胜1 局. (1) 求甲获得这次比赛胜利的概率; (2) 设ξ 表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数, 求ξ 得分布列及数 学期望. 507
4. 4. 在数列{an} 中, a1 = 1, an+1 = ( 1 + 1 n ) an + n + 1 2n . (1) 设bn = an n , 求数列{bn} 的通项公式; (2) 求数列{an} 的前n 项和Sn.
5. 5. 如图, 已知抛物线E: y2 = x 与圆M: (x −4)2 + y2 = r2 (r > 0) 相交于 (1) 求r 的取值范围; (2) 当四边形ABCD 的面积最大时, 求对角线AC、BD 的交点P 坐标. x y O A B C D P M •
6. 6. 设函数f (x) = x3 + 3bx2 + 3cx 在两个极值点x1、x2, 且x1 ∈[−1, 0], x2 ∈[1, 2]. (1) 求b、c 满足的约束条件, 并在下面的坐标平面内, 画出满足这些条件的 点(b, c) 的区域; (2) 证明: −10 ⩽f (x2) ⩽−1 2. O 1 2 3 b −1 c 1 2 3 −1 508

原卷配图（含真实几何/应用题图示）