2009年大纲2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年大纲2（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, M = {1, 3, 5, 7}, N = {5, 6, 7}, 则∁U(M ∪N) = ( ) 5分
   A. {5, 7} B. {2, 4} C. {2, 4, 8} D. {1, 3, 5, 6, 7}
2. 2. 函数y = √−x (x ⩽0) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = x2 (x ⩾0) B. y = −x2 (x ⩾0) C. y = x2 (x ⩽0) D. y = −x2 (x ⩽0)
3. 3. 函数y = log2 2 −x 2 + x 的图象 ( ) 5分
   A. 关于原点对称 B. 关于直线y = −x 对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y = x 对称
4. 4. 已知△ABC 中, cot A = −12 5 , 则cos A = ( ) 13 13 13 13 5分
   A. 12 B. 5 C. −5 D. −12
5. 5. 已知正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB, E 为AA1 中点, 则 异面直线BE 与CD1 所成的角的余弦值为 ( ) (A) √ 10 10 5 √ 10 10 5 5分
   B. 1 C. 3 D. 3
6. 6. 已知向量a = (2, 1), a · b = 10, |a + b| = 5 √ 2, 则|b| = ( ) (A) √ 5 (B) √ 10 5分
   C. 5 D. 25
7. 7. 设a = lge, b = (lge)2, c = lg√e, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. c > b > a
8. 8. 双曲线x2 6 −y2 3 = 1 的渐近线与圆(x −3)2 + y2 = r2 (r > 0) 相切, 则 r = ( ) (A) √ 3 5分
   B. 2 C. 3 D. 6
9. 9. 若将函数y = tan ( ωx + π 4 ) (ω > 0) 的图象向右平移π 6 个单位长度后, 与函数y = tan ( ωx + π 6 ) 的图象重合, 则ω 的最小值为 ( ) 6 4 3 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
10. 10. 甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门, 则甲、乙所选的课程中恰有1 门相 同的选法有 ( ) 5分
    A. 6 种 B. 12 种 C. 24 种 D. 30 种
11. 11. 已知直线y = k (x + 2) (k > 0) 与抛物线C: y2 = 8x 相交于A、B 两点, ( ) 3 (B) √ 2 3 3 √ 2 3 5分
    F. 为C 的焦点. 若|FA| = 2|FB|, 则k = A. 1 C. 2 D. 2
12. 12. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北. 现 有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平, 得到如图的平面图 形, 则标“△”的面的方位是 ( ) △ 上 东 5分
    A. 南 B. 北 C. 西 D. 下

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设等比数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a1 = 1, S6 = 4S3, 则a4 = . 5分
2. 2. ( x√y −y√x )4 的展开式中x3y3 的系数为 . 5分
3. 3. 已知圆O: x2 + y2 = 5 和点A(1, 2), 则过A 且与圆O 相切的直线与两坐 标轴围成的三角形的面积等于 . 5分
4. 4. 设OA 是球O 的半径, M 是OA 的中点, 过M 且与OA 成45◦角的平 面截球O 的表面得到圆C. 若圆C 的面积等于7π 4 , 则球O 的表面积等 于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 中, a3a7 = −16, a4 + a6 = 0, 求{an} 的前n 项和Sn.
2. 2. 设△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c, cos(A−C)+cos B = 3 2, b2 = ac, 求B.
3. 3. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB ⊥AC, D、E 分别为AA1、B1C 的中点, DE ⊥平面BCC1. (1) 证明: AB = AC; (2) 设二面角A −BD −C 为60◦, 求B1C 与平面BCD 所成的角的大小. A B E C D A1 B1 C1 513
4. 4. 某车间甲组有10 名工人, 其中有4 名女工人; 乙组有10 名工人, 其中有6 名女工人. 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样) 从甲、乙 两组中共抽取4 名工人进行技术考核. (1) 求从甲、乙两组各抽取的人数; (2) 求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率; (3) 求抽取的4 名工人中恰有2 名男工人的概率.
5. 5. 设函数f(x) = 1 3x3 −(1 + a)x2 + 4ax + 24a, 其中常数a > 1. (1) 讨论f(x) 的单调性; (2) 若当x ⩾0 时, f(x) > 0 恒成立, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 3 , 过右焦点F 的直 线l 与C 相交于A、B 两点, 当l 的斜率为1 时, 坐标原点O 到l 的距离 为 √ 2 2 . (1) 求a, b 的值; (2) C 上是否存在点P, 使得当l 绕F 转到某一位置时, 有# » OP = # » OA+ # » OB 成立? 若存在, 求出所有的P 的坐标与l 的方程; 若不存在, 说明理由. 514

原卷配图（含真实几何/应用题图示）