2009年大纲2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年大纲2（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 10i 2 −i = ( ) 5分
   A. −2 + 4i B. −2 −4i C. 2 + 4i D. 2 −4i
2. 2. 设集合A = {x | x > 3}, B = { x  x −1 x −4 < 0 } , 则A ∩B = ( ) 5分
   A. ∅ B. (3, 4) C. (−2, 1) D. (4, +∞)
3. 3. 已知△ABC 中, cot A = −12 5 , 则cos A = ( ) 13 13 13 13 5分
   A. 12 B. 5 C. −5 D. −12
4. 4. 曲线y = x 2x −1 在点(1, 1) 处的切线方程为 ( ) 5分
   A. x −y −2 = 0 B. x + y −2 = 0 C. x + 4y −5 = 0 D. x −4y −5 = 0
5. 5. 已知正四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB, E 为AA1 中点, 则 异面直线BE 与CD1 所成的角的余弦值为 ( ) (A) √ 10 10 5 √ 10 10 5 5分
   B. 1 C. 3 D. 3
6. 6. 已知向量a = (2, 1), a · b = 10, |a + b| = 5 √ 2, 则|b| = ( ) (A) √ 5 (B) √ 10 5分
   C. 5 D. 25
7. 7. 设a = log3π, b = log2 √ 3, c = log3 √ 2, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. b > c > a
8. 8. 若将函数y = tan ( ωx + π 4 ) (ω > 0) 的图象向右平移π 6 个单位长度后, 与函数y = tan ( ωx + π 6 ) 的图象重合, 则ω 的最小值为 ( ) 6 4 3 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
9. 9. 已知直线y = k (x + 2) (k > 0) 与抛物线C: y2 = 8x 相交于A、B 两点, ( ) 3 (B) √ 2 3 3 √ 2 3 5分
   F. 为C 的焦点. 若|FA| = 2|FB|, 则k = A. 1 C. 2 D. 2
10. 10. 甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门, 则甲、乙所选的课程中至少有1 门 不相同的选法共有 ( ) 5分
    A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种
11. 11. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为F, 过F 且斜率 为 √ 3 的直线交C 于A、B 两点, 若# » AF = 4# » FB. 则C 的离心率为( ) 5 5 8 5 5分
    A. 6 B. 7 C. 5 D. 9
12. 12. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北. 现 有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平, 得到如图的平面图 形, 则标“△”的面的方位是 ( ) △ 上 东 5分
    A. 南 B. 北 C. 西 D. 下

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x√y −y√x )4 的展开式中x3y3 的系数为 . 5分
2. 2. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a5 = 5a3, 则S9 S5 = . 5分
3. 3. 设OA 是球O 的半径, M 是OA 的中点, 过M 且与OA 成45◦角的平 面截球O 的表面得到圆C. 若圆C 的面积等于7π 4 , 则球O 的表面积等 于 . 5分
4. 4. 已知AC、BD 为圆O: x2+y2 = 4 的两条相互垂直的弦, 垂足为M ( 1, √ 2 ) , 则四边形ABCD 的面积的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c, cos(A−C)+cos B = 3 2, b2 = ac, 求B.
2. 2. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB ⊥AC, D、E 分别为AA1、B1C 的中点, DE ⊥平面BCC1. (1) 证明: AB = AC; (2) 设二面角A −BD −C 为60◦, 求B1C 与平面BCD 所成的角的大小. A B E C D A1 B1 C1
3. 3. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知a1 = 1, Sn+1 = 4an + 2. (1) 设bn = an+1 −2an, 证明数列{bn} 是等比数列; (2) 求数列{an} 的通项公式. 511
4. 4. 某车间甲组有10 名工人, 其中有4 名女工人; 乙组有5 名工人, 其中有3 名女工人. 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样) 从甲、乙 两组中共抽取3 名工人进行技术考核. (1) 求从甲、乙两组各抽取的人数; (2) 求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率; (3) 记ξ 表示抽取的3 名工人中男工人数, 求ξ 的分布列及数学期望.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 3 , 过右焦点F 的直 线l 与C 相交于A、B 两点, 当l 的斜率为1 时, 坐标原点O 到l 的距离 为 √ 2 2 . (1) 求a, b 的值; (2) C 上是否存在点P, 使得当l 绕F 转到某一位置时, 有# » OP = # » OA+ # » OB 成立? 若存在, 求出所有的P 的坐标与l 的方程; 若不存在, 说明理由.
6. 6. 设函数f (x) = x2 + a ln (1 + x) 有两个极值点x1, x2, 且x1 < x2. (1) 求a 的取值范围, 并讨论f (x) 的单调性; (2) 证明: f (x2) > 1 −2 ln 2 4 . 512

原卷配图（含真实几何/应用题图示）