2009年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年天津（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, 5i 2 −i = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. −1 −2i C. 1 −2i D. −1 + 2i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x + y ⩾3, x −y ⩾−1, 2x −y ⩽3, 则目标函数z = 2x + 3y 的最小 值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 7 C. 8 D. 23
3. 3. 设x ∈R, 则“x = 1”是“x3 = x”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的虚轴长为2, 焦距为2 √ 3, 则双曲 线的渐近线方程为 ( ) √ 2x √ 2 2 x 2x 5分
   A. y = ± B. y = ±2x C. y = ± D. y = ±1
5. 5. 设a = log 1 3 2, b = log 1 2 1 3, c = (1 2 )0.3 , 则 ( ) 5分
   A. a < b < c B. a < c < b C. b < c < a D. b < a < c
6. 6. 阅读如图的程序框图, 则输出的S = ( ) 开始 S = 0, i = 1 S = S + i2 i = i + 1 i > 4? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 14 B. 20 C. 30 D. 55
7. 7. 已知函数f(x) = sin ( ωx + π 4 ) (x ∈R, ω > 0) 的最小正周期为π. 将 y = f(x) 的图象向左平移|φ| 个单位长度, 所得图象关于y 轴对称, 则φ 的一个值是 ( ) 2 8 4 8 5分
   A. π B. 3π C. π D. π
8. 8. 设函数f(x) = { x2 −4x + 6, x ⩾0, x + 6, x < 0, 则不等式f(x) > f(1) 的解集是( ) 5分
   A. (−3, 1) ∪(3, +∞) B. (−3, 1) ∪(2, +∞) C. (−1, 1) ∪(3, +∞) D. (−∞, −3) ∪(1, 3)
9. 9. 设x, y ∈R, a > 1, b > 1. 若ax = by = 3, a + b = 2 √ 3, 则1 x + 1 y 的最大 值为 ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
10. 10. 设函数f(x) 在R 上的导函数为f ′(x), 且2f(x) + xf ′(x) > x2. 下面的不 等式在R 内恒成立的是 ( ) 5分
    A. f(x) > 0 B. f(x) < 0 C. f(x) > x D. f(x) < x

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 如图, AA1 与BB1 相交于点O, AB A1B1 且AB = 1 2A1B1, 若△AOB 得外接圆直径为1, 则△A1OB1 的外接圆直径为 . O A B A1 B1 5分
2. 2. 如图是一个几何体的三视图, 若它的体积是3 √ 3, 则a = . 1 1 a 3 2 俯视图 正视图 侧视图 5分
3. 3. 设全集U = = {x ∈N∗| lg x < 1}, 若A ∩(∁UB) = {m | m = 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, 4}, 则集合B = . 5分
   A. ∪B
4. 4. 若圆x2 + y2 = 4 与圆x2 + y2 + 2ay −6 = 0 (a > 0) 的公共弦的长为2 √ 3, 则a = . 5分
5. 5. 若等边△ABC 的边长为2 √ 3, 平面内一点M 满足# » CM = 1 6 # » CB + 2 3 # » CA, 则# » MA · # » MB = . 5分
6. 6. 若关于x 的不等式(2x −1)2 < ax2 的解集中的整数恰好有3 个, 则实数 . 5分
   A. 的取值范围是

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, BC = √ 5, AC = 3, sin C = 2 sin A. (1) 求AB 的值; (2) 求sin ( 2A −π 4 ) 的值.
2. 2. 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从A, B, C 三个区中抽取7 个工厂进行调查, 已知A, B, C 区中分别有18, 27, 18 个工厂. (1) 求从A, B, C 区中分别抽取的工厂个数; (2) 若从抽取的7 个工厂中随机抽取2 个进行调查结果的对比, 用列举法 计算这2 个工厂中至少有1 个来自A 区的概率. 563
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PD ⊥平面ABCD, AD ⊥CD, 且DB 平分∠ADC, E 为PC 的中点, AD = CD = 1, DB = 2 √ 2. (1) 证明PA 平面BDE; (2) 证明AC ⊥平面PBD; (3) 求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值. D C B A P E
4. 4. 已知等差数列{an} 的公差d 不为0, 设Sn = a1 + a2q + · · · + anqn−1, Tn = a1 −a2q + · · · + (−1)n−1anqn−1, q̸ = 0, n ∈N∗. (1) 若q = 1, a1 = 1, S3 = 15, 求数列{an} 的通项公式; (2) 若a1 = d, S1, S2, S3 成等比数列, 求q 的值. (3) 若q̸ = ±1, 证明(1 −q)S2n −(1 + q)T2n = 2dq(1 −q2n) 1 −q2 , n ∈N∗.
5. 5. 设函数f(x) = −1 3x3 + x2 + (m2 −1)x (x ∈R), 其中m > 0. (1) 当m = 1 时, 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线的斜率; (2) 求函数的单调区间与极值; (3) 已知函数f(x) 有三个互不相同的零点0, x1, x2, 且x1 < x2. 若对任意 的x ∈[x1, x2], f(x) > f(1) 恒成立, 求m 的取值范围.
6. 6. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点分别为F1(−c, 0) 和F2(c, 0) (a2 ) 的直线与椭圆相交与A, B 两点, 且F1A F2B, |F1A| = 2 |F2B|. (1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线AB 的斜率; (3) 设点C 与点A 关于坐标原点对称, 直线F2B 上有一点H(m, n) (m̸ = 0) 在△AF1C 的外接圆上, 求n m 的值. 564

原卷配图（含真实几何/应用题图示）