2009年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年天津（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, 5i 2 −i = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. −1 −2i C. 1 −2i D. −1 + 2i
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x + y ⩾3, x −y ⩾−1, 2x −y ⩽3, 则目标函数z = 2x + 3y 的最小 值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 7 C. 8 D. 23
3. 3. 命题“存在x0 ∈R, 2x0 ⩽0”的否定是 ( ) 5分
   A. 不存在x0 ∈R, 2x0 > 0 B. 存在x0 ∈R, 2x0 ⩾0 C. 对任意的x ∈R, 2x ⩽0 D. 对任意的x ∈R, 2x > 0
4. 4. 设函数f(x) = 1 3x −ln x (x > 0), 则y = f(x) ( ) (1 e, 1 ) , (1, e) 内均有零点 (1 e, 1 ) , (1, e) 内均无零点 (1 e, 1 ) 内有零点, 在区间(1, e) 内无零点 (1 e, 1 ) 内无零点, 在区间(1, e) 内有零点 5分
   A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间
5. 5. 阅读如图的程序框图, 则输出的S = ( ) 开始 S = 0, i = 1 T = 3i −1 S = S + T i = i + 1 i > 5? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 26 B. 35 C. 40 D. 57
6. 6. 设a > 0, b > 0. 若 √ 3 是3a 与3b 的等比中项, 则1 ) 4 5分
   A. + 1 B. 的最小值为( A. 8 B. 4 C. 1 D. 1
7. 7. 已知函数f(x) = sin ( ωx + π 4 ) (x ∈R, ω > 0) 的最小正周期为π. 为了 得到函数g(x) = cos ωx 的图象, 只要将y = f(x) 的图象 ( ) 8 个单位长度 8 个单位长度 4 个单位长度 4 个单位长度 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向右平移π
8. 8. 已知函数f(x) = { x2 + 4x, x ⩾0, 4x −x2, x < 0. 若f(2 −a2) > f(a), 则实数a 的取 值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1) ∪(2, +∞) B. (−1, 2) C. (−2, 1) D. (−∞, −2) ∪(1, +∞)
9. 9. 设抛物线y2 = 2x 的焦点为F, 过点M( √ 3, 0) 的直线与抛物线相交于A, 积之比S△BCF S△ACF = ( ) 5 3 7 2 5分
   B. 两点, 与抛物线的准线相交于C, |BF| = 2, 则△BCF 与△ACF 的面 A. 4 B. 2 C. 4 D. 1
10. 10. 0 < b < 1 + a. 若关于x 的不等式(x −b)2 > (ax)2 的解集中的整数恰有 3 个, 则 ( ) 5分
    A. −1 < a < 0 B. 0 < a < 1 C. 1 < a < 3 D. 3 < a < 6

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 某学院的A, B, C 三个专业共有1200 名学生. 为了调查这些学生勤工俭 学的情况, 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本. 已知该学 院的A 专业有380 名学生, B 专业有420 名学生, 则在该学院的C 专业 应抽取 名学生. 5分
2. 2. 如图是一个几何体的三视图, 若它的体积是3 √ 3, 则a = . 1 1 a 3 2 俯视图 正视图 侧视图 5分
3. 3. 设直线l1 的参数方程为 { x = 1 + t, y = 1 + 3t, (t 为参数), 直线l2 的方程为 y = 3x + 4, 则l1 与l2 的距离为 . 5分
4. 4. 若圆x2 + y2 = 4 与圆x2 + y2 + 2ay −6 = 0 (a > 0) 的公共弦的长为2 √ 3, 则a = . 5分
5. 5. 在四边形ABCD 中, # » AB = # » DC = (1, 1), 1 # » BA  # » BA + 1 # » BC  # » BC = √ 3 # » BD  # » BD, 则四边形ABCD 的面积为 . 5分
6. 6. 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成没有重复数字的四位数, 其中个位、〸位和百 位上的数字之和为偶数的四位数共有 个. (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, BC = √ 5, AC = 3, sin C = 2 sin A. (1) 求AB 的值; (2) 求sin ( 2A −π 4 ) 的值.
2. 2. 在10 件产品中, 有3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品. 从这10 件产品 中任取3 件, 求: (1) 取出的3 件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望; (2) 取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 561
3. 3. 如图, 在五面体ABCDEF 中, FA ⊥平面ABCD, AD BC FE, AB ⊥AD, M 为EC 的中点, AF = AB = BC = FE = 1 2AD. (1) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小; (2) 证明平面AMD ⊥平面CDE; (3) 求二面角A −CD −E 的余弦值. B C D A F E M
4. 4. 已知函数f(x) = (x2 + ax −2a2 + 3a)ex (x ∈R), 其中a ∈R. (1) 当a = 0 时, 求曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线的斜率; (2) 当a̸ = 2 3 时, 求函数f(x) 的单调区间与极值.
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点分别为F1(−c, 0) 和F2(c, 0) (a2 ) 的直线与椭圆相交与A, B 两点, 且F1A F2B, |F1A| = 2 |F2B|. (1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线AB 的斜率; (3) 设点C 与点A 关于坐标原点对称, 直线F2B 上有一点H(m, n) (m̸ = 0) 在△AF1C 的外接圆上, 求n m 的值.
6. 6. 已知等差数列{an} 的公差为d (d̸ = 0), 等比数列{bn} 的公比为q (q > 1). 设Sn = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn, Tn=a1b1 −a2b2 + · · · + (−1)n−1anbn, n ∈N∗. (1) 若a1 = b1 = 1, d = 2, q = 3, 求S3 的值; (2) 若b1 = 1, 证明(1 −q)S2n −(1 + q)T2n = 2dq(1 −q2n) 1 −q2 , n ∈N∗; (3) 若正整数n 满足2 ⩽n ⩽q, 设k1, k2, · · · , kn 和l1, l2, · · · , ln 是1, 2, · · · , n 的两个不同的排列, c1 = ak1b1 + ak2b2 + · · · + aknbn, c2 = al1b1 + al2b2 + · · · + alnbn, 证明c1̸ = c2. 562

原卷配图（含真实几何/应用题图示）