2009年安徽（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年安徽（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 是虚数单位, i(1 + i) 等于 ( ) 5分
   A. 1 + i B. −1 −i C. 1 −i D. −1 + i
2. 2. 若集合A = {x | (2x + 1)(x −3) < 0}, B = {x ∈N+ | x ⩽5}, 则A ∩B 是 ( ) 5分
   A. {1, 2, 3} B. {1, 2} C. {4, 5} D. {1, 2, 3, 4, 5}
3. 3. 不等式组        x ⩾0, x + 3y ⩾4, 3x + y ⩽4 所表示的平面区域的面积等于 ( ) 2 3 3 4 5分
   A. 3 B. 2 C. 4 D. 3
4. 4. “a + c > b + d”是“a > b 且c > d”的 ( ) 5分
   A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知{an} 为等差数列, a1 + a3 + a5 = 105, a2 + a4 + a6 = 99, 则a20 等 于 ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. 3 D. 7
6. 6. 下列曲线中离心率为 √ 6 2 的是 ( ) 2 −y2 4 = 1 (B) x2 4 −y2 2 = 1 4 −y2 6 = 1 4 −y2 10 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
7. 7. 直线l 过点(−1, 2) 且与直线2x −3y + 4 = 0 垂直, 则l 的方程是 ( ) 5分
   A. 3x + 2y −1 = 0 B. 3x + 2y + 7 = 0 C. 2x −3y + 5 = 0 D. 2x −3y + 8 = 0
8. 8. 设a < b, 函数y = (x −a)2(x −b) 的图象可能是 ( ) (A) a x b y O (B) a x b y O (C) a x b y O (D) a x b y O 5分
9. 9. 设函数f(x) = sin θ 3 x3 + √ 3 cos θ 2 x2 + tan θ, 其中θ ∈ [ 0, 5π 12 ] , 则导数 ( ) (B) [√ 2, √ 3 ] (C) [√ 3, 2 ] (D) [√ 2, 2 ] 5分
   F. ′(1) 的取值范围是 A. [−2, 2]
10. 10. 考察正方体6 个面的中心, 从中任意选3 个点连成三角形, 再把剩下的3 个点也连成三角形, 则所得的两个三角形全等的概率等于 ( ) 2 3 5分
    A. 1 B. 1 C. 1 D. 0

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 在空间直角坐标系中, 已知点A(1, 0, 2), B(1, −3, 1), 点M 在y 轴上, 且 M 到A 与到B 的距离相等, 则M 的坐标是 . 5分
2. 2. 程序框图(即算法流程图) 如图所示, 其输出结果是 . 开始 输出a 结束 是 否 5分
   A. = 1 A. = 2a + 1 A. > 100?
3. 3. 从长度分别为2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条, 则以这三条线段为 边可以构成三角形的概率是 . 5分
4. 4. 在平行四边形ABCD 中, E 和F 分别是边CD 和BC 的中点. 若 # » AC = λ# » AE + µ# » AF, 其中λ, µ ∈R, 则λ + µ = . 5分
5. 5. 对于四面体ABCD, 下列命题正确的是 . (写出所有正确命题的编 号) ①相对棱AB 与CD 所在的直线异面; ②由顶点A 作四面体的高, 其垂足是△BCD 的三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高, 则这两条高所在直线异 面; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线, 所得的三条线段相交于一点. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, C −A = π 2 , sin B = 1 3. (1) 求sin A 的值; (2) 设AC = √ 6, 求△ABC 的面积.
2. 2. 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A, 将其与原有的一个优良品种 下: 品种A: 357, 359, 367, 368, 375, 388, 392, 399, 400, 405, 412, 414, 415, 421, 423, 423, 427, 430, 430, 434, 443, 445, 451, 454. 品种B: 363, 371, 374, 383, 385, 386, 391, 392, 394, 395, 397, 397, 400, 401, 401, 403, 406, 407, 410, 412, 415, 416, 422, 430. (1) 完成所附的茎叶图; (2) 用茎叶图处理现有的数据, 有什么优点? (3) 通过观察茎叶图, 对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较, 写出 统计结论. A B 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 497
3. 3. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 3 , 以原点为圆心、椭圆 短半轴长为半径的圆与直线y = x + 2 相切. (1) 求a 与b; (2) 设该椭圆的左、右焦点分别为F1 和F2, 直线l1 过F2 且与x 轴垂直, 动直线l2 与y 轴垂直, 交l1 于点P. 求线段PF1 的垂直平分线与l2 的交 点M 的轨迹方程, 并指明曲线类型.
4. 4. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = 2n2 + 2n, 数列{bn} 的前n 项和 Tn = 2 −bn. (1) 求数列{an} 与{bn} 的通项公式; (2) 设cn = a2 n · bn, 证明: 当且仅当n ⩾3 时, cn+1 < cn.
5. 5. 如图, ABCD 的边长为2 的正方形, 直线l 与平面ABCD 平行, E 和F 是l 上的两个不同点, 且EA = ED, FB = FC. E′ 和F ′ 是平面ABCD 内的两点, EE′ 和FF ′ 都与平面ABCD 垂直. (1) 证明: 直线E′F ′ 垂直且平分线段AD; (2) 若∠EAD = ∠EAB = 60◦, EF = 2, 求多面体ABCDEF 的体积. A B C D E E′ l F
6. 6. 已知函数f(x) = x −2 x + 1 −a ln x, a > 0. (1) 讨论f(x) 的单调性; (2) 设a = 3, 求f(x) 在区间[1, e2] 上值域, 其中e = 0.71828 · · · 是自然 对数的底数. 498

原卷配图（含真实几何/应用题图示）