本卷为官方高考数学真题（2009年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. i 是虚数单位, 若1 + 7i
2 −i = a + bi (a, b ∈R), 则乘积ab 的值是
(
) 5分
A. −15
B. −3
C. 3
D. 15
-
2. 若集合A = {x | |2x −1| < 3}, B =
{
x
2x + 1
3 −x < 0
}
, 则A ∩B 是(
)
(A)
{
x
−1 < x < −1
2 或2 < x < 3
}
(C)
{
x
−1
2 < x < 2
}
(D)
{
x
−1 < x < −1
2
} 5分
B. {x | 2 < x < 3}
-
3. 下列曲线中离心率为
√
6
2
的是
(
)
2 −y2
4 = 1 (B) x2
4 −y2
2 = 1
4 −y2
6 = 1
4 −y2
10 = 1 5分
A. x2
C. x2
D. x2
-
4. 下列选项中, p 是q 的必要不充分条件的是
(
)
限 5分
A. p: a + c > b + d, q: a > b 且c > d
B. p: a > 1, b > 1, q: f(x) = ax −b (a > 0, 且a̸ = 1) 的图象不过第二象
C. p: x = 1, q: x2 = x
D. p: a > 1, q: f(x) = logax (a > 0, 且a̸ = 1) 在(0, +∞) 上为增函数
-
5. 已知{an} 为等差数列, a1 + a3 + a5 = 105, a2 + a4 + a6 = 99. 以Sn 表示
{an} 的前n 项和, 则使得Sn 达到最大值的n 是
(
) 5分
A. 21
B. 20
C. 19
D. 18
-
6. 设a < b, 函数y = (x −a)2(x −b) 的图象可能是
(
)
(A)
a
x
b
y
O
(B)
a
x
b
y
O
(C)
a
x
b
y
O
(D)
a
x
b
y
O 5分
-
7. 若不等式组
x ⩾0,
x + 3y ⩾4,
3x + y ⩽4
所表示的平面区域被直线y = kx + 4
3 分为面积
相等的两部分, 则k 的值是
(
)
3
7
3
4 5分
A. 7
B. 3
C. 4
D. 3
-
8. 已知函数f(x) =
√
3 sin ωx+cos ωx (ω > 0), y = f(x) 的图象与直线y = 2
的两个相邻交点的距离等于π, 则f(x) 的单调递增区间是
(
)
(A)
[
kπ −π
12, kπ + 5π
12
]
, k ∈Z
(B)
[
kπ + 5π
12 , kπ + 11π
12
]
, k ∈Z
(C)
[
kπ −π
3 , kπ + π
6
]
, k ∈Z
(D)
[
kπ + π
6 , kπ + 2π
3
]
, k ∈Z 5分
-
9. 已知函数f(x) 在R 上满足f(x) = 2f(2−x)−x2+8x−8, 则曲线y = f(x)
在点(1, f(1)) 处的切线方程是
(
) 5分
A. y = 2x −1
B. y = x
C. y = 3x −2
D. y = −2x + 3
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10. 考察正方体6 个面的中心, 甲从这6 个点中任意选两个点连成直线, 乙也
从这6 个点中任意选两个点连成直线, 则所得的两条直线相互平行但不重
合的概率等于
(
)
75
75
75
75 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
1. 若随机变量X ∼N(µ, σ2), 则P(X ⩽µ) =
. 5分
-
2. 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取
相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为θ = π
4 (ρ ∈R), 它与曲线
{
x = 1 + 2 cos α,
y = 2 + 2 sin α,
(α 为参数) 相交于两点A 和B, 则|AB| =
. 5分
-
3. 程序框图(即算法流程图) 如图所示, 其输出结果是
.
开始
输出a
结束
是
否 5分
A. = 1
A. = 2a + 1
A. > 100?
-
4. 给定两个长度为1 的平面向量# »
OA 和# »
OB, 它们的夹角为120◦. 如图所示,
点C 在以O 为圆心的圆弧˜
AB 上变动. 若# »
OC = x# »
OA + y# »
OB, 其中x,
y ∈R, 则x + y 的最大值是
.
O
A
B
C 5分
-
5. 对于四面体ABCD, 下列命题正确的是
. (写出所有正确命题的编
号)
①相对棱AB 与CD 所在的直线异面;
②由顶点A 作四面体的高, 其垂足是△BCD 的三条高线的交点;
③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高, 则这两条高所在直线异
面;
④分别作三组相对棱中点的连线, 所得的三条线段相交于一点;
⑤最长棱必有某个端点, 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 5分
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1. 在△ABC 中, sin(C −A) = 1, sin B = 1
3.
(1) 求sin A 的值;
(2) 设AC =
√
6, 求△ABC 的面积.
-
2. 某地有A、B、C、D 四人先后感染了甲型H1N1 流感, 其中只有A 到过
疫区. B 肯定是受A 感染的. 对于C, 因为难以断定他是受A 还是受B
感染的, 于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1
2. 同样也假定D 受A、
3. 在这种假定之下, B、C、D 中直接受A 感染
的人数X 就是一个随机变量. 写出X 的分布列(不要求写出计算过程),
并求X 的均值(即数学期望).
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3. 如图, 四棱锥F −ABCD 的底面ABCD 是菱形, 其对角线AC = 2,
BD =
√
2, AE、CF 都与平面ABCD 垂直, AE = 1, CF = 2.
(1) 求二面角B −AF −D 的大小;
(2) 求四棱锥E −ABCD 与四棱锥F −ABCD 公共部分的体积.
A
B
D
C
E
F
-
4. 已知函数f(x) = x −2
x + a(2 −ln x), (a > 0). 讨论f(x) 的单调性.
-
5. 点P(x0, y0) 在椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 上, x0 = a cos β, y0 = b sin β,
0 < β < π
2 . 直线l2 与直线l1: x0
a2 x + y0
b2 y = 1 垂直, O 为坐标原点, 直线
OP 的倾斜角为α, 直线l2 的倾斜角为γ.
(1) 证明: 点P 是椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 与直线l1 的唯一交点;
(2) 证明: tan α, tan β, tan γ 构成等比数列.
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6. 首项为正数的数列{an} 满足an+1 = 1
4(an2 + 3), n ∈N+.
(1) 证明: 若a1 为奇数, 则对一切n ⩾2, an 都是奇数;
(2) 若对一切n ∈N+ 都有an+1 > an, 求a1 的取值范围.
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