2009年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 集合A = {0, 2, a}, B = {1, a2}. 若A ∪B = {0, 1, 2, 4, 16}, 则a 的 值为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2. 2. 复数3 −i 1 −i 等于 ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. 1 −2i C. 2 + i D. 2 −i
3. 3. 将函数y = sin 2x 的图象向左平移π 4 个单位, 再向上平移1 个单位, 所得 图象的函数解析式是 ( ) ( 2x + π 4 ) 5分
   A. y = cos 2x B. y = 2cos2x C. y = 1 + sin D. y = 2sin2x
4. 4. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) 2 2 2 2 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 3 √ 3 √ 3 3 √ 3 3 5分
   A. 2π + 2 B. 4π + 2 C. 2π + 2 D. 4π + 2
5. 5. 在R 上定义运算⊙: a ⊙b = ab + 2a + b, 则满足x ⊙(x −2) < 0 的实数 x 的取值范围为 ( ). 5分
   A. (0, 2) B. (−2, 1) C. (−∞, −2) ∪(1, +∞) D. (−1, 2)
6. 6. 函数y = ex + e−x ex −e−x 的图象大致为 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分
7. 7. 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x) = { log2(4 −x), x ⩽0, f(x −1) −f(x −2), x > 0, 则 f(3) 的值为 ( ) 5分
   A. −1 B. −2 C. 1 D. 2
8. 8. 设P 是△ABC 所在平面内的一点, # » BC + # » BA = 2# » BP, 则 ( ) PA + # » PB = 0 PB + # » PC = 0 PC + # » PA = 0 PA + # » PB + # » PC = 0 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
9. 9. 已知α, β 表示两个不同的平面, m 为平面α 内的一条直线, 则“α ⊥β”是 “m ⊥β”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 10. 设斜率为2 的直线l 过抛物线y2 = ax (a̸ = 0) 的焦点F, 且和y 轴交于 点A. 若△OAF (O 为坐标原点) 的面积为4, 则抛物线方程为 ( ) 5分
    A. y2 = ±4x B. y2 = ±8x C. y2 = 4x D. y2 = 8x
11. 11. 在区间 [ −π 2 , π 2 ] 上随机取一个数x, cos x 的值介于0 到1 2 之间的概率 为 ( ) 3 π 2 3 5分
    A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
12. 12. 已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x −4) = −f(x), 且在区间[0, 2] 上 是增函数, 则 ( ) 5分
    A. f(−25) < f(11) < f(80) B. f(80) < f(11) < f(−25) C. f(11) < f(80) < f(−25) D. f(−25) < f(80) < f(11)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 在等差数列{an} 中, a3 = 7, a5 = a2 + 6, 则a6 = . 5分
2. 2. 若函数f(x) = ax −x −a (a > 0 且a̸ = 1) 有两个零点, 则实数a 的取值 范围是 . 5分
3. 3. 执行如图的程序框图, 输出的T = . 开始 S = 0, T = 0, n = 0 T > S S = S + 5 n = n + 2 T = T + n 输出T 结束 否 是 5分
4. 4. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A, B 两类产品, 甲种设备每天能生产A 类产品5 件和B 类产品10 件, 乙种设备每天能生产A 类产品6 件和B 类产品20 件. 已知设备甲每天的租赁费为200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元. 现该公司至少要生产A 类产品50 件, B 类产品140 件, 所需租赁 费最少为 元. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f(x) = 2 sin xcos2 φ 2 + cos x sin φ −sin x (0 < φ < π) 在x = π 处取最小值. (1) 求φ 的值; (2) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角A, B, C 的对边. 已知a = 1, b = √ 2, f(A) = √ 3 2 , 求角C. 547
2. 2. 如图, 在直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 底面ABCD 为等腰梯形, AB CD, AB = 4, BC = CD = 2, AA1 = 2, E、E1 分别是棱AD、 AA1 的中点. (1) 设F 是棱AB 的中点, 证明: 直线EE1 平面FCC1; (2) 证明: 平面D1AC ⊥平面BB1C1C. A A1 E1 C C1 F E B B1 D D1
3. 3. 一汽车厂生产A, B, C 三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如下表(单位: 辆) : 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50 辆, 其中有A 类轿 车10 辆. (1) 求z 的值; (2) 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5 的样本. 将该样本 看成一个总体, 从中任取2 辆, 求至少有1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8 辆, 经检测它们的得分 如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8 辆轿车的得分看作一个总 体, 从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5 的概率.
4. 4. 等比数列{an} 的前n 项和为Sn. 已知对任意的n ∈N∗, 点(n, Sn) 均在 函数y = bx + r (b > 0 且b̸ = 1, b, r 均为常数) 的图象上. (1) 求r 的值; (2) 当b = 2 时, 记bn = n + 1 4an (n ∈N∗), 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
5. 5. 已知函数f(x) = 1 3ax3 + bx2 + x + 3, 其中a̸ = 0. (1) 当a, b 满足什么条件时, f(x) 取得极值? (2) 已知a > 0, 且f(x) 在区间(0, 1] 上单调递增, 试用a 表示出b 的取值 范围.
6. 6. 设m ∈R, 在平面直角坐标系中, 已知向量a = (mx, y + 1), 向量 (1) 求轨迹E 的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状; (2) 已知m = 1 4. 证明: 存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与 轨迹E 恒有两个交点A, B, 且OA ⊥OB (O 为坐标原点), 并求出该圆的 方程; (3) 已知m = 1 4. 设直线l 与圆C: x2 + y2 = R2 (1 < R < 2) 相切于A1, 且l 与轨迹E 只有一个公共点B1. 当R 为何值时, |A1B1| 取得最大值? 并求最大值. 548

原卷配图（含真实几何/应用题图示）