2009年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 集合A = {0, 2, a}, B = {1, a2}. 若A ∪B = {0, 1, 2, 4, 16}, 则a 的 值为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2. 2. 复数3 −i 1 −i 等于 ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. 1 −2i C. 2 + i D. 2 −i
3. 3. 将函数y = sin 2x 的图象向左平移π 4 个单位, 再向上平移1 个单位, 所得 图象的函数解析式是 ( ) ( 2x + π 4 ) 5分
   A. y = cos 2x B. y = 2cos2x C. y = 1 + sin D. y = 2sin2x
4. 4. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) 2 2 2 2 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 3 √ 3 √ 3 3 √ 3 3 5分
   A. 2π + 2 B. 4π + 2 C. 2π + 2 D. 4π + 2
5. 5. 已知α, β 表示两个不同的平面, m 为平面α 内的一条直线, 则“α ⊥β”是 “m ⊥β”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 函数y = ex + e−x ex −e−x 的图象大致为 ( ) (A) x 1 1 y O (B) x 1 1 y O (C) x 1 1 y O (D) x 1 1 y O 5分
7. 7. 设P 是△ABC 所在平面内的一点, # » BC + # » BA = 2# » BP, 则 ( ) PA + # » PB = 0 PC + # » PA = 0 PB + # » PC = 0 PA + # » PB + # » PC = 0 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
8. 8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测. 如图是根据抽样检测后的产品净重 (单位: 克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98), [98, 100), [100, 102), [102, 104), [104, 106], 已知样 本中产品净重小于100 克的个数是36, 则样本中净重大于或等于98 克并 且小于104 克的产品的个数是 ( ) 频率 组距 0 克 0.050 0.100 0.150 0.125 0.075 96 98 100 102 104 106 5分
   A. 90 B. 75 C. 60 D. 45
9. 9. 设双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的一条渐近线与抛物线y = x2 + 1 只有一个公共 点, 则双曲线的离心率为 ( ) 4 (C) √ 5 2 (D) √ 5 5分
   A. 5 B. 5
10. 10. 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x) = { log2(1 −x), x ⩽0, f(x −1) −f(x −2), x > 0, 则 f(2009) 的值为 ( ) 5分
    A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
11. 11. 在区间[−1, 1] 上随机取一个数x, cos πx 2 的值介于0 到1 2 之间的概率 为 ( ) 3 π 2 3 5分
    A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
12. 12. 设x, y 满足约束条件        3x −y −6 ⩽0, x −y + 2 ⩾0, x ⩾0, y ⩾0, . 若目标函数z = ax + by (a > 0, ( ) 6 3 3 5分
    B. > 0) 的是最大值为12, 则2 A. + 3 B. 的最小值为 A. 25 B. 8 C. 11 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 不等式|2x −1| −|x −2| < 0 的解集为 . 5分
2. 2. 若函数f(x) = ax −x −a (a > 0 且a̸ = 1) 有两个零点, 则实数a 的取值 范围是 . 5分
3. 3. 执行如图的程序框图, 输出的T = . 开始 S = 0, T = 0, n = 0 T > S S = S + 5 n = n + 2 T = T + n 输出T 结束 否 是 5分
4. 4. 已知定义在R 上的奇函数f(x), 满足f(x −4) = −f(x), 且在区间[0, 2] 上是增函数, 若方程f(x) = m (m > 0) 在区间[−8, 8] 上有四个不同的根 x1, x2, x3, x4, 则x1 + x2 + x3 + x4 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = cos ( 2x + π 3 ) + sin2 x. (1) 求函数f(x) 的最大值和最小正周期; (2) 设A, B, C 为△ABC 的三个内角, 若cos B = 1 3, f (C 3 ) = −1 4, 且 545
2. 2. 如图, 在直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 底面ABCD 为等腰梯形, AB CD, AB = 4, BC = CD = 2, AA1 = 2, E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点. (1) 证明: 直线EE1 平面FCC1; (2) 求二面角B −FC1 −C 的余弦值. A A1 E1 C C1 F E B B1 D D1
3. 3. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中, 规定每人最多投3 次; 在A 处每 投进一球得3 分, 在B 处每投进一球得2 分; 如果前两次得分之和超过3 分即停止投篮, 否则投第三次, 某同学在A 处的命中率q1 为0.25, 在B 处 的命中率为q2, 该同学选择先在A 处投一球, 以后都在B 处投, 用ξ 表示 该同学投篮训练结束后所得的总分, 其分布列为 ξ 0 2 3 4 5 p 0.03 p1 p2 p3 p4 (1) 求q2 的值; (2) 求随机变量ξ 的数学期望Eξ; (3) 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3 分与选择上述方式投篮得 分超过3 分的概率的大小.
4. 4. 等比数列{an} 的前n 项和为Sn. 已知对任意的n ∈N∗, 点(n, Sn) 均在 函数y = bx + r (b > 0 且b̸ = 1, b, r 均为常数) 的图象上. (1) 求r 的值; (2) 当b = 2 时, 记bn = 2(log2an + 1) (n ∈N∗). 证明: 对任意的n ∈N∗, 不等式b1 + 1 b1 · b2 + 1 b2 · · · · · bn + 1 bn > √n + 1 成立.
5. 5. 两县城A 和B 相距20 km, 现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧 ˜ AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市 的的距离有关, 对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和. 记C 点到城A 的距离为xkm, 建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的 总影响度为y. 统计调查表明: 垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到 城A 的距离的平方成反比, 比例系数为4; 对城B 的影响度与所选地点到 城B 的距离的平方成反比, 比例系数为k, 当垃圾处理厂建在˜ AB 的中点 时, 对城A 和城B 的总影响度为0.065. (1) 将y 表示成x 的函数; (2) 讨论(1) 中函数的单调性, 并判断弧˜ AB 上是否存在一点, 使建在此处 的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小? 若存在, 求出该点到城A 的距离; 若不存在, 说明理由.
6. 6. 设椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a, b > 0) 过M(2, √ 2), N( √ 6, 1) 两点, O 为坐标 原点. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两 个交点A, B, 且# » OA ⊥# » OB? 若存在, 写出该圆的方程, 并求|AB| 的取值 范围; 若不存在, 说明理由. 546

原卷配图（含真实几何/应用题图示）