2009年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 巳知全集U = R, 集合M = {x | −2 ⩽x −1 ⩽2} 和N = {x | x = 2k −1, k = 1, 2, · · · } 的关系的韦恩(Venn) 图如图所示, 则阴 影部分所示的集合的元素共有 ( ) M N U 5分
   A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 无穷个
2. 2. 设z 是复数, α(z) 表示满足zn = 1 的最小正整数n, 则对虚数单位i, α(i) = ( ) 5分
   A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
3. 3. 若函数y = f(x) 是函数y = ax (a > 0, 且a̸ = 1) 的反函数, 其图象经过 点(√a, a), 则f(x) = ( ) 2 x 2x 5分
   A. log2 x B. log 1 C. 1 D. x2
4. 4. 巳知等比数列{an} 满足an > 0, n = 1, 2, · · · , 且a5 ·a2n−5 = 22n (n ⩾3), 则当n ⩾1 时, log2 a1 + log2 a3 + · · · + log2 a2n−1 = ( ) 5分
   A. n(2n −1) B. (n + 1)2 C. n2 D. (n −1)2
5. 5. 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平 行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个 平面也不垂直. 其中, 为真命题的是 ( ) 5分
   A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
6. 6. 一质点受到平面上的三个力F 1, F 2, F 3 (单位: 牛顿) 的作用而处于平衡 状态. 已知F 1, F 2 成60◦角, 且F 1, F 2 的大小分别为2 和4, 则F 3 的 大小为 ( ) √ 5 √ 7 5分
   A. 6 B. 2 C. 2 D. 2
7. 7. 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者 中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作, 若其中小张和 小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作, 则不同的选派 方案共有 ( ) 5分
   A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种
8. 8. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发, 并沿同一路线(假定为直线) 行驶. 甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示). 那么对于图中给定的 t0 和t1, 下列判断中一定正确的是 ( ) v甲 v乙 t v(t) O t0t1 5分
   A. 在t1 时刻, 甲车在乙车前面 B. t1 时刻后, 甲车在乙车后面 C. 在t0 时刻, 两车的位置相同 D. t0 时刻后, 乙车在甲车前面

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 随机抽取某产品n 件, 测得其长度分别为a1, a2, · · · , an, 则如图所示的程 序框图输出的s = , s 表示的样本的数字特征是 . (注: 框图中 的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”) 开始 输入n, a1, a2, · · · , an s = 0, i = 1 i ⩽n? s = (i −1) × s + ai i i = i + 1 输出s 结束 是 否 5分
2. 2. 若平面向量a, b 满足|a + b| = 1, a + b 平行于x 轴, b = (2, −1), 则 . 5分
   A. =
3. 3. 巳知椭圆G 的中心在坐标原点, 长轴在x 轴上, 离心率为 √ 3 2 , 且G 上一 点到G 的两个焦点的距离之和为12, 则椭圆G 的方程为 . 5分
4. 4. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表. 若EX = 0, DX = 1, 则 , b = . X −1 0 1 2 P a b c 1 12 5分
   A. =
5. 5. 若直线l1: { x = 1 −2t, y = 2 + kt, (t 为参数) 与直线l2: { x = s, y = 1 −2s, (s 为参数) 垂 直, 则k = . 5分
6. 6. 不等式|x + 1| |x + 2| ⩾1 的实数解为 . 5分
7. 7. 如图, 点A, B, C 是圆O 上的点, 且AB = 4, ∠ACB = 45◦, 则圆O 的面 积等于 . A O B C • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = (sin θ, −2) 与b = (1, cos θ) 互相垂直, 其中θ ∈ ( 0, π 2 ) . (1) 求sin θ cos θ 的值; (2) 若sin(θ −φ) = √ 10 10 , 0 < φ < π 2 , 求cos φ 的值.
2. 2. 根据空气质量指数API (为整数) 的不同, 可将空气质量分级如下表: 对某 城市一年(365 天) 的空气质量进行监测, 获得API 数据按照区间[0, 50], (50, 100], (100, 150], (150, 200], (200, 250], (250, 300] 进行分组, 得到频率 分布直方图如图. API 0 ∼50 51 ∼100 101 ∼150 151 ∼200 201 ∼250 251 ∼300 > 300 级别 I II III1 III2 IV1 IV2 V 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 (1) 求直方图中x 的值; (2) 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3) 求该城市某一周至少有2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示. 已知57 = 78125, 27 = 128, 3 1825 + 2 365 + 7 1825 + 3 1825 + 8 9125 = 123 9125, 365 = 73 × 5) 频率 组距 0 API 50 100 150 200 250 300 7 1825 2 365 x 3 1825 8 9125 519
3. 3. 如图, 已知正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为2, 点E 是正方形 BCC1B1 的中心, 点F、G 分别是棱C1D1, AA1 的中点. 设点E1, G1 分别是点E、G 在平面DCC1D1 内的正投影. (1) 求以E 为顶点, 以四边形FGAE 在平面DCC1D1 内的正投影为底面 边界的棱锥的体积; (2) 证明: 直线FG1 ⊥FEE1; (3) 求异面直线E1G1 与EA 所成角的正弦值. A B C E D G F A1 B1 C1 D1
4. 4. 已知曲线C: y = x2 与直线l: x −y + 2 = 0 交于两点A(xA, yA) 和 B(xB, yB), 且xA < xB. 记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界) 为D. 设点P(s, t) 是L 上的任一点, 且 点P 与点A 和点B 均不重合. (1) 若点Q 是线段AB 的中点, 试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程; (2) 若曲线G: x2 −2ax + y2 −4y + a2 + 51 25 = 0 与D 有公共点, 试求a 的最小值.
5. 5. 已知二次函数y = g(x) 的导函数的图象与直线y = 2x 平行, 且y = g(x) 在x = −1 处取得极小值m −1 (m̸ = 0). 设f(x) = g(x) x . (1) 若曲线y = f(x) 上的点P 到点Q(0, 2) 的距离的最小值为 √ 2, 求m 的值; (2) k (k ∈R) 如何取值时, 函数y = f(x) −kx 存在零点, 并求出零点.
6. 6. 已知曲线Cn: x2 −2nx + y2 = 0 (n = 1, 2, · · · ). 从点P(−1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为kn (kn > 0) 的切线ln, 切点为Pn(xn, yn). (1) 求数列{xn} 与{yn} 的通项公式; (2) 证明: x1 · x3 · x5 · · · · · x2n−1 < √1 −xn 1 + xn < √ 2 sin xn yn . 520

原卷配图（含真实几何/应用题图示）