2009年新课标卷（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年新课标卷（理科）），共 7 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 7 题）

1. 1. 某工厂有工人1000 名, 其中250 名工人参加过短期培训(称为A 类工人), 另外750 名工人参加过长期培训(称为B 类工人), 现用分层抽样方法(按 产能力(此处生产能力指一天加工的零件数). (1) 求甲、乙两工人都被抽到的概率, 其中甲为A 类工人, 乙为B 类工人; (2) 从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽插结果分别如下表1 和表2. 表1: 生产能力分组 [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150) 人数 4 8 x 5 3 表2: 生产能力分组 [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150) 人数 6 y 36 18 ①先确定x, y, 再在答题纸上完成下列频率分布直方图. 就生产能力 而言, A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个 更小? (不用计算, 可通过观察直方图直接回答结论) 频率 组距 0 生产能力 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020 0.024 0.028 0.032 0.036 100 110 120 130 140 150 频率 组距 0 生产能力 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020 0.024 0.028 0.032 0.036 0.040 0.044 0.048 100 110 120 130 140 150 ②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数, 并估计该工厂 工人的生产能力的平均数. (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
2. 2. 如图, 四棱锥S −ABCD 的底面是正方形, 每条侧棱的长都是地面边长的 √ 2 倍, P 为侧棱SD 上的点. (1) 求证: AC ⊥SD; (2) 若SD ⊥平面PAC, 求二面角P −AC −D 的大小; (3) 在(2) 的条件下, 侧棱SC 上是否存在一点E, 使得BE 平面PAC. 若存在, 求SE : EC 的值; 若不存在, 试说明理由. C B A D P S
3. 3. 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点, 焦点在x 轴上, 它的一个 顶点到两个焦点的距离分别是7 和1. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 若P 为椭圆C 上的动点, M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点, |OP| |OM| = λ, 求点M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.
4. 4. 已知函数f(x) = (x3 + 3x2 + ax + b)e−x. (1) 若a = b = −3, 求f(x) 的单调区间; (2) 若f(x) 在(−∞, α), (2, β) 单调增加, 在(α, 2), (β, +∞) 单调减少, 证 明: β −α < 6.
5. 5. 如图, 已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H, ∠B = 60◦, F 在AC 上, 且AE = AF. (1) 证明: 证明: B, D, H, E 四点共圆; (2) 证明: CE 平分∠DEF. C B A D F E H
6. 6. 已知曲线C1: { x = −4 + cos t, y = 3 + sin t, (t 为参数), C2: { x = 8 cos θ, y = 3 sin θ, (θ 为参数). (1) 化C1, C2 的方程为普通方程, 并说明它们分别表示什么曲线 (2) 若C1 上的点P 对应的参数为t = π 2 , Q 为C2 上的动点, 求PQ 中点 M 到直线C3: { x = 3 + 2, t y = −2 + t, (t 为参数) 距离的最小值.
7. 7. 如图, O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点, C 为线段OM 上的动点, 设x 表示C 与原点的距离, y 表示C 到A 距离4 倍与C 到B 距离的6 倍的和. (1) 将y 表示成x 的函数; (2) 要使y 的值不超过70, x 应该在什么范围内取值? O A B M 10 20 30 • • • • 542

原卷配图（含真实几何/应用题图示）