2009年江苏

本卷为官方高考数学真题（2009年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 若复数z1 = 4 + 29i, z2 = 6 + 9i, 其中i 是虚数单位, 则复数(z1 −z2)i 的 实部为 . 5分
2. 2. 已知向量a 和向量b 的夹角为30◦, |a| = 2, |b| = √ 3, 则向量a 和向量b 的数量积a · b = . 5分
3. 3. 函数f(x) = x3 −15x2 −33x + 6 的单调减区间为 . 5分
4. 4. 函数y = A sin(ωx + φ) (A, ω, φ 为常数, A > 0, ω > 0) 在闭区间[−π, 0] 上的图象如图所示, 则ω = . x −π −2π 3 −π 3 y O 5分
5. 5. 现有5 根竹竿, 它们的长度(单位: m) 分别为2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 若从 中一次随机抽取2 根竹竿, 则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为 . 5分
6. 6. 某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1, 2, 3, 4, 5 的学生进行投篮练习, 每 人投10 次, 投中的次数如下表: 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2 = . 5分
7. 7. 如图是一个算法的流程图, 最后输出的W = . 开始 S ←0 T ←1 S ←T 2 −S T ←T + 2 S ⩾10 W ←S + T 输出W 结束 Y N 5分
8. 8. 在平面上, 若两个正三角形的边长的比为1 : 2, 则它们的面积比为1 : 4, 类似地, 在空间内, 若两个正四面体的棱长的比为1 : 2, 则它们的体积比 为 . 5分
9. 9. 在平面直角坐标系xOy 中, 点P 在曲线C: y = x3 −10x+3 上, 且在第二 象限内, 已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2, 则点P 的坐标为 . 5分
10. 10. 已知a = √ 5 −1 2 , 函数f(x) = ax, 若实数m、n 满足f(m) > f(n), 则m、 n 的大小关系为 . 5分
11. 11. 已知集合A = {x | log2x ⩽2}, B = (−∞, a), 若A ⊆B, 则实数a 的取值 范围是(c, +∞), 其中c = . 5分
12. 12. 设α 和β 为不重合的两个平面, 给出下列命题: (1) 若α 内的两条相交直线分别平行于β 内的两条直线, 则α 平行于β; (2) 若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行, 则l 和α 平行; (3) 设α 和β 相交于直线l, 若α 内有一条直线垂直于l, 则α 和β 垂直; (4) 直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直. 上面命题中, 真命题的序号 . (写出所有真命题的序号) 5分
13. 13. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, A1, A2, B1, B2 为椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1(a > T, 线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点, 则该椭圆的离心率 为 . x y O B1 B2 T M A1 A2 F 5分
    B. > 0) 的四个顶点, F 为其右焦点, 直线A1B2 与直线B1F 相交于点
14. 14. 设{an} 是公比为q 的等比数列, |q| > 1, 令bn = an + 1 (n = 1, 2, · · · ), 若 数列{bn} 有连续四项在集合{−53, −23, 19, 37, 82} 中, 则6q = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 设向量a = (4 cos α, sin α), b = (sin β, 4 cos β), c = (cos β, −4 sin β). (1) 若a 与b −2c 垂直, 求tan(α + β) 的值; (2) 求|b + c| 的最大值; (3) 若tan α tan β = 16, 求证: a b.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, E、F 分别是A1B、A1C 的中点, 点D 在B1C1 上, A1D ⊥B1C. 求证: (1) EF 平面ABC; (2) 平面A1FD ⊥平面BB1C1C. C B B1 A F A1 D C1 E
3. 3. 设{an} 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前n 项和, 满足a2 2 + a2 3 = a2 4 + a2 5, S7 = 7. (1) 求数列{an} 的通项公式及前n 项和Sn; (2) 试求所有的正整数m, 使得amam+1 am+2 为数列{an} 中的项.
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆C1: (x + 3)2 + (y −1)2 = 4 和圆C2: (x −4)2 + (y −5)2 = 4. (1) 若直线l 过点A(4, 0), 且被圆C1 截得的弦长为2 √ 3, 求直线l 的方程; (2) 设P 为平面上的点, 满足: 存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l1 和 l2, 它们分别与圆C1 和圆C2 相交, 且直线l1 被圆C1 截得的弦长与直线 l2 被圆C2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点P 的坐标. x y O A 1 1 C1 C2 • • 531
5. 5. 按照某学者的理论, 假设一个人生产某产品单件成本为a 元, 如果他卖出 该产品的单价为m 元, 则他的满意度为 m m + a; 如果他买进该产品的单价 为n 元, 则他的满意度为 n n + a. 如果一个人对两种交易(卖出或买进) 的 满意度分别为h1 和h2, 则他对这两种交易的综合满意度为√h1h2. 现假设甲生产A、B 两种产品的单件成本分别为12 元和5 元, 乙生产A、 mA 元和mB 元, 甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h甲, 乙卖出A 与买 进B 的综合满意度为h乙. (1) 求h 和h乙关于mA、mB 的表达式; 当mA = 3 5mB 时, 求证: h甲= h乙; (2) 设mA = 3 5mB, 当mA、mB 分别为多少时, 甲、乙两人的综合满意度 均最大? 最大的综合满意度为多少? (3) 记(2) 中最大的综合满意度为h0, 试问能否适当选取mA、mB 的值, 使得h甲⩾h0 和h乙⩾h0 同时成立, 但等号不同时成立? 试说明理由.
6. 6. 设a 为实数, 函数f(x) = 2x2 + (x −a)|x −a|. (1) 若f(0) ⩾1, 求a 的取值范围; (2) 求f(x) 的最小值; (3) 设函数h(x) = f(x), x ∈(a, +∞), 直接写出(不需给出演算步骤) 不等 式h(x) ⩾1 的解集.
7. 7. 四选二. 【A】如图, 在四边形ABCD 中, △ABC ∼= △BAD. 求证: AB CD. A B C D 【B】求矩阵A = [ 3 2 2 1 ] 的逆矩阵. 【C】已知曲线C 的参数方程为      x = √ t −1 √ t, y = 3(t + 1 t ), (t 为参数, t > 0), 求曲线 【D】设a ⩾b > 0, 求证: 3a3 + 2b3 ⩾3a2b + 2ab2.
8. 8. 在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线C 的顶点在原点, 经过点A(2, 2), 其焦 点F 在x 轴上. (1) 求抛物线C 的标准方程; (2) 求过点F, 且与直线OA 垂直的直线的方程; (3) 设过点M(m, 0) (m > 0) 的直线交抛物线C 于D、E 两点, ME = 2DM, 记D 和E 两点间的距离为f(m), 求f(m) 关于m 的表达式. x y O A 1 1
9. 9. 对于正整数n ⩾2, 用Tn 表示关于x 的一元二次方程x2 + 2ax + b = 0 有 实数根的有序数组(a, b) 的组数, 其中a, b ∈{1, 2, · · · , n} (a 和b 可以 相等); 对于随机选取的a, b ∈{1, 2, · · · , n} (a 和b 可以相等), 记Pn 为 关于x 的一元二次方程x2 + 2ax + b = 0 有实数根的概率. (1) 求Tn2 和Pn2; (2) 求证: 对任意正整数n ⩾2, 有Pn > 1 − 1 √n. 532

原卷配图（含真实几何/应用题图示）