2009年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年江西（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 下列命题是真命题的为 ( ) x = 1 y, 则x = y 5分
   A. 若1 B. 若x2 = 1, 则x = 1 C. 若x = y, 则√x = √y D. 若x < y, 则x2 < y2
2. 2. 函数y = √ −x2 −3x + 4 x 的定义域为 ( ) 5分
   A. [−4, 1] B. [−4, 0) C. (0, 1] D. [−4, 0) ∪(0, 1]
3. 3. 50 名学生参加甲、乙两项体育活动, 每人至少参加了一项, 参加甲项的学生 有30 名, 参加乙项的学生有25 名, 则仅参加了一项活动的学生人数为( ) 5分
   A. 50 B. 45 C. 40 D. 35
4. 4. 函数f(x) = (1 + √ 3 tan x) cos x 的最小正周期为 ( ) 2 2 5分
   A. 2π B. 3π C. π D. π
5. 5. 已知函数f(x) 是(−∞, +∞) 上的偶函数, 若对于x ⩾0, 都有f(x + 2) = f(x), 且当x ∈[0, 2) 时, f(x) = log2(x + 1), 则f(−2008) + f(2009) 的值 为 ( ) 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
6. 6. 若C1 nx + C2 nx2 + · · · + Cn nxn 能被7 整除, 则x, n 的值可能为 ( ) 5分
   A. x = 4, n = 3 (B) x = 4, n = 4 C. x = 5, n = 4 D. x = 6, n = 5
7. 7. 设F1 和F2 为双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点, 若F1, F2, P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点, 则双曲线的离心率为 ( ) 2 2 5分
   A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
8. 8. 公差不为零的等差数列{an} 的前n 项和为Sn. 若a4 是a3 与a7 的等比 中项, S8 = 32, 则S10 等于 5分
   A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
9. 9. 如图, 在四面体ABCD 中, 截面PQMN 是正方形, 则在下列命题中, 错 误的为 ( ) B P N M Q A D C 截面PQMN 5分
   A. AC ⊥BD B. AC C. AC = BD D. 异面直线PM 与BD 所成的角为45◦
10. 10. 甲、乙、丙、丁4 个足球队参加比赛, 假设每场比赛各队取胜的概率相等, 现任意将这4 个队分成两个组(每组两个队) 进行比赛, 胜者再赛. 则甲、 乙相遇的概率为 ( ) 6 4 3 2 5分
    A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
11. 11. 如图所示, 一质点P(x, y) 在xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不变, 其在 x 轴上的投影点Q(x, 0) 的运动速度V = V (t) 的图象大致为 ( ) Q(x, 0) P(x, y) x y O (A) t V (t) O (B) t V (t) O (C) t V (t) O (D) t V (t) O 5分
12. 12. 若存在过点(1, 0) 的直线与曲线y = x3 和y = ax2 + 15 4 x −9 都相切, 则 ( ) 64 4 4 或−25 64 4 或7 5分
    A. 等于 A. −1 或−25 B. −1 或21 C. −7 D. −7

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a = (3, 1), b = (1, 3), c = (k, 2). 若(a −c) ⊥b, 则k = . 5分
2. 2. 体积为8 的一个正方体, 其全面积与球O 的表面积相等, 则球O 的体积等 于 . 5分
3. 3. 若不等式 √ 4 −x2 ⩽k(x + 1) 的解集为区间[a, b], 且b −a = 1, 则 k = . 5分
4. 4. 设直线系M: x cos θ + (y −2) sin θ = 1 (0 ⩽θ ⩽2π), 对于下列四个命题: 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) 5分
   A. 存在一个圆与所有直线相交; B. 存在一个圆与所有直线不相交; C. 存在一个圆与所有直线相切; D. M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = x3 −9 2x2 + 6x −a. (1) 对于任意实数x, f ′(x) ⩾m 恒成立, 求m 的最大值; (2) 若方程f(x) = 0 有且仅有一个实根, 求a 的取值范围.
2. 2. 某公司拟资助三位大学生自主创业, 现聘请两位专家, 独立地对每位大学 生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1 2. 若某人获得两个“支持”, 则给予10 万元的创业资助; 若只获得一个“支持”, 则给予5 万元的资助; 若未获得“支持”, 则不予资助. 求: (1) 该公司的资助总额为零的概率; (2) 该公司的资助总额超过15 万元的概率. 535
3. 3. △ABC 中, A, B, C 所对的边分别为a, b, c, A = π 6 , (1 + √ 3)c = 2b. (1) 求C; (2) 若# » CB · # » CA = 1 + √ 3, 求a, b, c.
4. 4. 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, PA = AD = 4, AB = 2. 以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球 面交PD 于点M. (1) 求证: 平面ABM ⊥平面PCD; (2) 求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3) 求点O 到平面ABM 的距离. B C D M O A P •
5. 5. 数列{an} 的通项an = n2 ( cos2 nπ 3 −sin2 nπ 3 ) , 其前n 项和为Sn. (1) 求Sn; (2) bn = S3n n · 4n , 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
6. 6. 如图, 已知圆G: (x −2)2 + y2 = r2 是椭圆x2 16 + y2 = 1 的内接△ABC 的 内切圆, 其中A 为椭圆的左顶点. (1) 求圆G 的半径r; (2) 过点M (0, 1) 作圆G 的两条切线交椭圆于E, F 两点, 证明: 直线 EF 与圆G 相切. x y O E C G A M F B • 536

原卷配图（含真实几何/应用题图示）