2009年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若复数z = (x2 −1) + (x −1)i 为纯虚数, 则实数x 的值为 ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. −1 或1
2. 2. 函数y = ln(x + 1) √ −x2 −3x + 4 的定义域为 ( ) 5分
   A. (−4, −1) B. (−4, 1) C. (−1, 1) D. (−1, 1]
3. 3. 已知全集U = A ∪B 中有m 个元素, (∁UA) ∪(∁UB) 中有n 个元素. 若 ( ) 5分
   A. ∩B 非空, 则A ∩B 的元素个数为 A. mn B. m + n C. n −m D. m −n
4. 4. 若函数f(x) = (1 + √ 3 tan x) cos x, 0 ⩽x < π 2 , 则f(x) 的最大值为 ( ) (C) √ 3 + 1 (D) √ 3 + 2 5分
   A. 1 B. 2
5. 5. 设函数f(x) = g(x) + x2, 曲线y = g(x) 在点(1, g(1)) 处的切线方程为 y = 2x + 1, 则曲线y = f(x) 在点(1, f(1)) 处切线的斜率为 ( ) 4 2 5分
   A. 4 B. −1 C. 2 D. −1
6. 6. 过椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点F1 作x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点, 若∠F1PF2 = 60◦, 则椭圆的离心率为 ( ) (A) √ 2 2 (B) √ 3 3 2 3 5分
   C. 1 D. 1
7. 7. (1 + ax + by)n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243, 不含y 的 项的系数绝对值的和为32, 则a, b, n 的值可能为 ( ) 5分
   A. a = 2, b = −1, n = 5 B. a = −2, b = −1, n = 6 C. a = −1, b = 2, n = 6 D. a = 1, b = 2, n = 5
8. 8. 数列{an} 的通项an = n2 ( cos2 nπ 3 −sin2 nπ 3 ) , 其前n 项和为Sn, 则S30 为 ( ) 5分
   A. 470 B. 490 C. 495 D. 510
9. 9. 如图, 正四面体ABCD 的顶点A, B, C 分别在两两垂直的三条射线Ox, Oy, Oz 上, 则在下列命题中, 错误的为 ( ) B O A C D y z x 平面ACD 5分
   A. O −ABC 是正三棱锥 B. 直线OB C. 直线AD 与OB 所成的角是45◦(D) 二面角D −OB −A 为45◦
10. 10. 为了庆祝六一儿童节, 某食品厂制作了3 种不同的精美卡片, 每袋食品随 机装入一张卡片, 集齐3 种卡片可获奖, 现购买该种食品5 袋, 能获奖的概 率为 81 81 81 81 5分
    A. 31 B. 33 C. 48 D. 50
11. 11. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”, 封闭区 域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”, 下面四个平面区域 (阴影部分) 的周率从左到右依次记为τ1, τ2, τ3, τ4, 则下列关系中正确的 为 ( ) 5分
    A. τ1 > τ4 > τ3 B. τ3 > τ1 > τ2 C. τ4 > τ2 > τ3 D. τ3 > τ4 > τ2
12. 12. 设函数f(x) = √ ax2 + bx + c (a < 0) 的定义域为D, 若所有点(s, f(t)) (s, t ∈D) 构成一个正方形区域, 则a 的值为 ( ) 5分
    A. −2 B. −4 C. −8 D. 不能确定

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知向量a = (3, 1), b = (1, 3), c = (k, 7). 若(a −c) b, 则k = . 5分
2. 2. 正三棱柱ABC −A1B1C1 内接于半径为2 的球, 若A, B 两点的球面距离 为π, 则正三棱柱的体积为 . 5分
3. 3. 若不等式 √ 9 −x2 ⩽k(x + 2) − √ 2 的解集为区间[a, b], 且b −a = 2, 则 k = . 5分
4. 4. 设直线系M: x cos θ + (y −2) sin θ = 1 (0 ⩽θ ⩽2π), 对于下列四个命题: 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) 5分
   A. M 中所有直线均经过一个定点; B. 存在定点P 不在M 中的任一条直线上; C. 对于任意整数n (n ⩾3), 存在正n 边形, 其所有边均在M 中的直线上; D. M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设函数f(x) = ex x . (1) 求函数f(x) 的单调区间; (2) 若k > 0, 求不等式f ′(x) + k(1 −x)f(x) > 0 的解集.
2. 2. 某公司拟资助三位大学生自主创业, 现聘请两位专家, 独立地对每位大学 生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1 2. 若某人获得两个“支持”, 则给予10 万元的创业资助; 若只获得一个“支持”, 则给予5 万元的资助; 若未获得“支持”, 则不予资助, 令ξ 表示该公司的资 助总额. (1) 写出ξ 的分布列; (2) 求数学期望Eξ.
3. 3. △ABC 中, A, B, C 所对的边分别为a, b, c, tan C = sin A + sin B cos A + cos B , sin(B −A) = cos C. (1) 求A, C; (2) 若S△ABC = 3 + √ 3, 求a, c. 533
4. 4. 在四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, PA = AD = 4, AB = 2. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球 面交PD 于点M, 交PC 于点N. (1) 求证: 平面ABM ⊥平面PCD; (2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小; (3) 求点N 到平面ACM 的距离. B C D N M O A P • •
5. 5. 已知点P1(x0, y0) 为双曲线x2 8b2 −y2 b2 = 1 (b 为正常数) 上任一点, F2 为双 曲线的右焦点, 过P1 作右准线的垂线, 垂足为A, 连接F2A 并延长交y 轴 于P2. (1) 求线段P1P2 的中点P 的轨迹E 的方程; (2) 设轨迹E 与x 轴交于B, D 两点, 在E 上任取一点Q(x1, y1) (y1̸ = 0), 直线QB, QD 分别交y 轴于M, N 两点. 求证: 以MN 为直径的圆过两 定点. x y O A P2 P P1 F2 F1 • • •
6. 6. 各项均为正数的数列{an}, a1 = a, a2 = b, 且对满足m + n = p + q 的正 整数m, n, p, q 都有 am + an (1 + am)(1 + an) = ap + aq (1 + ap)(1 + aq). (1) 当a = 1 2, b = 4 5 时, 求通项an; (2) 证明: 对任意a, 存在与a 有关的常数λ, 使得对于每个正整数n, 都有 1 λ ⩽an ⩽λ. 534

原卷配图（含真实几何/应用题图示）