2009年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年浙江（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设U = R, A = {x | x > 0}, B = {x | x > 1}, 则A ∩∁UB = ( ) 5分
   A. {x | 0 ⩽x < 1} B. {x | 0 < x ⩽1} C. {x | x < 0} D. {x | x > 1}
2. 2. “x > 0”是“x̸ = 0”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 设z = 1 + i (i 是虚数单位), 则2 z + z2 = ( ) 5分
   A. 1 + i B. −1 + i C. 1 −i D. −1 −i
4. 4. 设α, β 是两个不同的平面, l 是一条直线, 以下命题正确的是 ( ) α, α β, 则l ⊂β β, 则l ⊥β α, α ⊥β, 则l ⊥β 5分
   A. 若l ⊥α, α ⊥β, 则l ⊂β B. 若l C. 若l ⊥α, α D. 若l
5. 5. 已知向量a = (1, 2), b = (2, −3). 若向量c 满足(c + a) b, c ⊥(a + b), 则c = ( ) (A) (7 9, 7 3 ) (B) ( −7 3, −7 9 ) (C) (7 3, 7 9 ) (D) ( −7 9, −7 3 ) 5分
6. 6. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 右顶点为A, 点B 在椭 圆上, 且BF ⊥x 轴, 直线AB 交y 轴于点P. 若# » AP = 2# » PB, 则椭圆的 离心率是 ( ) (A) √ 3 2 (B) √ 2 2 3 2 5分
   C. 1 D. 1
7. 7. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是 ( ) 开始 k = 0 S = 0 S < 100? S = S + 2S k = k + 1 输出k 结束 是 否 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 8. 若函数f(x) = x2 + a x (a ∈R), 则下列结论正确的是 ( ) 5分
   A. ∀a ∈R, f(x) 在(0, +∞) 上是增函数 B. ∀a ∈R, f(x) 在(0, +∞) 上是减函数 C. ∃a ∈R, f(x) 是偶函数 D. ∃a ∈R, f(x) 是奇函数
9. 9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5, 则它的边与半径为1 的圆的公共点个 数最多为 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10. 10. 已知a 是实数, 则函数f(x) = 1 + a sin ax 的图象不可能是 ( ) (A) x π 2π y 1 2 O (B) x π 2π y 1 2 O (C) x π 2π y 1 2 O (D) x π 2π y 1 2 O 5分

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 设等比数列{an} 的公比q = 1 2, 前n 项和为Sn, 则S4 a4 = . 5分
2. 2. 若某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则此几何体的体积 是 cm3. 1 1 1 3 3 3 1 俯视图 正视图 侧视图 5分
3. 3. 若实数x, y 满足不等式组        x + y ⩾2, 2x −y ⩽4, x −y ⩾0, 则2x + 3y 的最小值是 . 5分
4. 4. 某个容量为100 的样本的频率分布直方图如下, 则在区间[4, 5) 上的数据 的频数为 . 频率 组距 0 数据 1 2 3 4 5 6 0.05 0.10 0.40 0.15 5分
5. 5. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的 电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位: 千瓦时) 高峰电价(单位: 元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 超过50 至200 的部分 0.598 超过200 的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量(单位: 千瓦时) 高峰电价(单位: 元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.288 超过50 至200 的部分 0.318 超过200 的部分 0.388 若某家庭5 月份的高峰时间段用电量为200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元. (用数 字作答) 5分
6. 6. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 则S4, S8 −S4, S12 −S8, S16 −S12 成等差数列. 类比以上结论有: 设等比数列{bn} 的前n 项积为Tn, 则 T4, , , T16 T12 成等比数列. 5分
7. 7. 有20 张卡片, 每张卡片上分别标有两个连续的自然数k, k+1, 其中k = 0, 1, 2, · · · , 19. 从这20 张卡片中任取一张, 记事件“该卡片上两个数的各位 数字之和(例如: 若取到标有9, 10 的卡片, 则卡片上两个数的各位数字之 和为9 + 1 + 0 = 10) 不小于14”为A, 则P(A) = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且满足cos A 2 = 2 √ 5 5 , # » AB · # » AC = 3. (1) 求△ABC 的面积; (2) 若c = 1, 求a 的值. 567
2. 2. 如图, DC ⊥平面ABC, EB DC, AC = BC = EB = 2DC = 2, ∠ACB = 120◦, P, Q 分别为AE, AB 的中点. (1) 证明: PQ 平面ACD; (2) 求AD 与平面ABE 所成角的正弦值. A E D B C P Q
3. 3. 设Sn 为数列{an} 的前n 项和, Sn = kn2 + n, n ∈N∗, 其中k 是常数. (1) 求a1 及an; (2) 若对于任意的m ∈N∗, am, a2m, a4m 成等比数列, 求k 的值.
4. 4. 已知函数f(x) = x3 + (1 −a)x2 −a(a + 2)x + b (a, b ∈R). (1) 若函数f(x) 的图象过原点, 且在原点处的切线斜率是−3, 求a, b 的 值; (2) 若函数f(x) 在区间(−1, 1) 上不单调, 求a 的取值范围.
5. 5. 已知抛物线C: x2 = 2py (p > 0) 上一点A(m, 4) 到其焦点的距离为17 4 . (1) 求p 与m 的值; (2) 设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t > 0), 过P 的直线交C 于另一 点Q, 交x 轴于点M, 过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N. 若MN 是C 的切线, 求t 的最小值. x y O M P Q N 568

原卷配图（含真实几何/应用题图示）