2009年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设U = R, A = {x | x > 0}, B = {x | x > 1}, 则A ∩∁UB = ( ) 5分
   A. {x | 0 ⩽x < 1} B. {x | 0 < x ⩽1} C. {x | x < 0} D. {x | x > 1}
2. 2. 已知a, b 是实数, 则“a > 0 且b > 0”是“a + b > 0 且ab > 0”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 设z = 1 + i (i 是虚数单位), 则2 z + z2 = ( ) 5分
   A. −1 −i B. −1 + i C. 1 −i D. 1 + i
4. 4. 在二项式 ( x2 −1 x )5 的展开式中, 含x4 的项的系数是 ( ) 5分
   A. −10 B. 10 C. −5 D. 5
5. 5. 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, 各棱长相等, 侧掕垂直于底面, 点D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则AD 与平面BB1C1C 所成角的大小是 ( ) 5分
   A. 30◦ B. 45◦ C. 60◦ D. 90◦
6. 6. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是 ( ) 开始 k = 0 S = 0 S < 100? S = S + 2S k = k + 1 输出k 结束 是 否 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 7. 设向量a, b 满足: |a| = 3, |b| = 4, a · b = 0. 以a, b, a −b 的模为边长构 成三角形, 则它的边与半径为1 的圆的公共点个数最多为 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 8. 已知a 是实数, 则函数f(x) = 1 + a sin ax 的图象不可能是 ( ) (A) x π 2π y 1 2 O (B) x π 2π y 1 2 O (C) x π 2π y 1 2 O (D) x π 2π y 1 2 O 5分
9. 9. 过双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点A 作斜率为−1 的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B, C. 若# » AB = 1 2 # » BC, 则双 曲线的离心率是 ( ) (A) √ 2 (B) √ 3 (C) √ 5 (D) √ 10 5分
10. 10. 对于正实数α, 记Mα 为满足下述条件的函数f(x) 构成的集合: ∀x1, x2 ∈R 且x2 > x1, 有−α(x2 −x1) < f(x2) −f(x1) < α(x2 −x1). 下列结论中正确的是 ( ) g(x) ∈M α1 α2 5分
    A. 若f(x) ∈Mα1, g(x) ∈Mα2, 则f(x) · g(x) ∈Mα1·α2 B. 若f(x) ∈Mα1, g(x) ∈Mα2 且g(x)̸ = 0, 则f(x) C. 若f(x) ∈Mα1, g(x) ∈Mα2, 则f(x) + g(x) ∈Mα1+α2 D. 若f(x) ∈Mα1, g(x) ∈Mα2 且α1 > α2, 则f(x) −g(x) ∈Mα1−α2

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 设等比数列{an} 的公比q = 1 2, 前n 项和为Sn, 则S4 a4 = . 5分
2. 2. 若某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则此几何体的体积 是 cm3. 1 1 1 3 3 3 1 俯视图 正视图 侧视图 5分
3. 3. 若实数x, y 满足不等式组        x + y ⩾2, 2x −y ⩽4, x −y ⩾0, 则2x + 3y 的最小值是 . 5分
4. 4. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的 电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位: 千瓦时) 高峰电价(单位: 元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 超过50 至200 的部分 0.598 超过200 的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量(单位: 千瓦时) 高峰电价(单位: 元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.288 超过50 至200 的部分 0.318 超过200 的部分 0.388 若某家庭5 月份的高峰时间段用电量为200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元. (用数 字作答) 5分
5. 5. 观察下列等式: C1 5 + C5 5 = 23 −2, C1 9 + C5 9 + C9 9 = 27 + 23, C1 13 + C5 13 + C9 13 + C13 13 = 211 −25, C1 17 + C5 17 + C9 17 + C13 17 + C17 17 = 215 + 27, · · · · · · 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于n ∈N∗, C1 4n+1 + C5 4n+1 + C9 4n+1 + · · · + C4n+1 4n+1 = . 5分
6. 6. 甲、乙、丙3 人站到共有7 级的台阶上, 若每级台阶最多站2 人, 同一级 台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是 . (用数字作答) 5分
7. 7. 如图, 在长方形ABCD 中, AB = 2, BC = 1, E 为DC 的中点, F 为线段 EC (端点除外) 上一动点. 现将△AFD 沿AF 折起, 使平面ABD ⊥平 面ABC. 在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB, K 为垂足. 设AK = t, 则t 的取值范围是 . A =⇒ D B C • A D B C K F 5分
   E. F

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且满足cos A 2 = 2 √ 5 5 , # » AB · # » AC = 3. (1) 求△ABC 的面积; (2) 若b + c = 6, 求a 的值. 565
2. 2. 在1, 2, 3, · · · , 9 这9 个自然数中, 任取3 个数. (1) 求这3 个数中恰有1 个是偶数的概率; (2) 设ξ 为这3 个数中两数相邻的组数(例如: 若取出的数为1, 2, 3, 则有 两组相邻的数1, 2 和2, 3, 此时ξ 的值是2). 求随机变量ξ 的分布列及其 数学期望Eξ.
3. 3. 如图, 平面PAC ⊥平面ABC, △ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角 形, E, F, O 分别为PA, PB, AC 的中点, AC = 16, PA = PC = 10. (1) 设G 是OC 的中点, 证明: FG 平面BOE; (2) 证明: 在△ABO 内存在一点M, 使FM ⊥平面BOE, 并求点M 到 OA, OB 的距离. A E F B C P G O
4. 4. 已知椭圆C1: y2 a2 + x2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右顶点为A(1, 0), 过C1 的焦点 且垂直长轴的弦长为1. (1) 求椭圆C1 的方程; (2) 设点P 在抛物线C2: y = x2 + h (h ∈R) 上, C2 在点P 处的切线与 C1 交于点M, N. 当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时, 求
5. 5. 已知函数f(x) = x3 −(k2 −k + 1)x2 + 5x −2, g(x) = k2x2 + kx + 1, 其中 k ∈R. (1) 设函数p(x) = f(x) + g(x). 若p(x) 在区间(0, 3) 上不单调, 求k 的取 值范围; (2) 设函数q(x) = { g(x), x ⩾0, f(x), x < 0. 是否存在k, 对任意给定的非零实数x1, 存在惟一的非零实数x2 (x2̸ = x1), 使得q′(x2) = q′(x1) 成立? 若存在, 求 k 的值; 若不存在, 请说明理由. 566

原卷配图（含真实几何/应用题图示）