本卷为官方高考数学真题（2009年湖北（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 若向量a = (1, 1), b = (−1, 1), c = (4, 2), 则c =
(
) 5分
A. 3a + b
B. 3a −b
C. −a + 3b
D. a + 3b
-
2. 函数y = 1 −2x
1 + 2x
(
x ∈R, x̸ = −1
2
)
的反函数是
(
)
1 −2x
(
x ∈R, x̸ = 1
2
)
1 + 2x
(
x ∈R, x̸ = −1
2
)
1 + x
2(1 −x) (x ∈R, x̸ = 1)
1 −x
2(1 + x) (x ∈R, x̸ = −1) 5分
A. y = 1 + 2x
B. y = 1 −2x
C. y =
D. y =
-
3. “sin α = 1
2”是“cos 2α = 1
2”的
(
) 5分
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
-
4. 从5 名志愿者中选派4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动, 每人
一天. 要求星期五有一人参加, 星期六有两人参加, 星期日有一人参加, 则
不同的选派方法共有
(
) 5分
A. 120 种
B. 96 种
C. 60 种
D. 48 种
-
5. 已知双曲线x2
2 −y2
2 = 1 的准线经过椭圆x2
4 + y2
b2 = 1 (b > 0) 的焦点, 则
(
)
(B)
√
5
(C)
√
3
(D)
√
2 5分
B. =
A. 3
-
6. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠ACB = 90◦, ∠ACC1 = 60◦,
∠BCC1 = 45◦, 侧棱CC1 的长为1, 则该三棱柱的高等于
(
)
A
B
C
A1
B1
C1
2
(B)
√
2
2
(C)
√
3
2
(D)
√
3
3 5分
A. 1
-
7. 函数y = cos
(
2x + π
6
)
−2 的图象F 按向量a 平移到F ′, F ′ 的解析式
y = f(x), 当y = f(x) 为奇函数时, 向量a 可以等于
(
)
(A)
(π
6 , −2
)
(B)
(π
6 , 2
)
(C)
(
−π
6 , −2
)
(D)
(
−π
6 , 2
) 5分
-
8. 在“家电下乡”活动中, 某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇, 现有4 辆
甲型货车和8 辆乙型货车可供使用, 每辆甲型货车运输费用400 元, 可装
洗衣机20 台; 每辆乙型货车运输费用300 元, 可装洗衣机10 台, 若每辆至
多只运一次, 则该厂所花的最少运输费用为
(
) 5分
A. 2000 元
B. 2200 元
C. 2400 元
D. 2800 元
-
9. 设x ∈R, 记不超过x 的最大整数为[x], 令{x} = x −[x], 则
{√
5 + 1
2
}
,
[√
5 + 1
2
]
,
√
5 + 1
2
(
) 5分
A. 是等差数列但不是等比数列
B. 是等比数列但不是等差数列
C. 既是等差数列又是等比数列
D. 既不是等差数列也不是等比数列
-
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数, 例如:
1
3
6
10
图1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
· · ·
•
1
4
9
16
图2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
· · ·
他们研究过图1 中的1, 3, 6, 10, · · · , 由于这些数能够表示成三角形, 将其
称为三角形数; 类似地, 称图2 中的1, 4, 9, 16· · · 这样的数成为正方形数.
下列数中及时三角形数又是正方形数的是
(
) 5分
A. 289
B. 1024
C. 1225
D. 1378
-
1. 已知(1 + ax)5 = 1 + 10x + bx2 + · · · + a5x5, 则b =
. 5分
-
2. 甲、乙、丙三人将参加某项测试, 他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,
则三人都达标的概率是
, 三人中至少有一人达标的概率是
. 5分
-
3. 设集合A = {x | log2 x < 1}, B =
{
x
x −1
x + 2 < 1
}
, 则A ∩B =
. 5分
-
4. 过原点O 作圆x2 + y2 −6x −8y + 20 = 0 的两条切线, 设切点分别为P、
Q, 则线段PQ 的长为
. 5分
-
5. 下图是样本容量为200 的频率分布直方图.
频率
组距
0
样本数据
0.02
0.08
0.09
0.03
2
6
10
14
18
22
根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落在[6, 10) 内的频数为
,
数据落在[2, 10) 内的概率约为
. 5分
-
1. 在锐角△ABC 中, a、b、c 分别为角A、B、C 所对的边, 且
√
3a = 2c sin A.
(1) 确定角C 的大小;
(2) 若c =
√
7, 且△ABC 的面积为3
√
3
2 , 求a + b 的值.
-
2. 围建一个面积为360 m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用
旧墙需维修), 其它三面围墙要新建, 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度
为2 m 的进出口. 如图所示, 已知旧墙的维修费用为45 元/m, 新墙的造价
为180 元/m. 设利用的旧墙的长度为x (单位: m), 修建此矩形场地围墙
的总费用为y (单位: 元).
(1) 将y 表示为x 的函数;
(2) 试确定x, 使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求出最小总费用.
x
525
-
3. 如图, 四棱锥S −ABCD 的底面是正方形, SD ⊥平面ABCD, SD =
AD = a, 点E 是SD 上的点, 且DE = λa (0 < λ ⩽1).
(1) 求证: 对任意的λ ∈(0, 1], 都有AC ⊥BE;
(2) 若二面角C −AE −D 的大小为60◦, 求λ 的值.
A
B
C
D
E
S
-
4. 已知{an} 是一个公差大于0 的等差数列, 且满足a3a6 = 55, a2 + a7 = 16.
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2) 若数列{an} 和数列{bn} 满足等式: an = b1
2 + b2
22 + b3
23 + · · · + bn
2n (n
为正整数), 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
-
5. 如图, 过抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线与抛物线相交于M、N
两点, 自M、N 向准线l 作垂线, 垂足分别为M1、N1.
(1) 求证: FM1 ⊥FN1;
(2) 记△FMM1、△FM1N1、△FNN1 的面积分别为S1、S2、S3, 试判断
S2
2 = 4S1S3 是否成立, 并证明你的结论.
x
y
O
F
l
M1
N1
M
N
-
6. 已知关于x 的函数f(x) = −1
3x3 + bx2 + cx + bc, 其导函数为f ′(x). 令
g(x) = |f ′(x)|, 记函数g(x) 在区间[−1, 1] 上的最大值为M.
(1) 如果函数f(x) 在x = 1 处有极值−4
3, 试确定b、c 的值;
(2) 若|b| > 1, 证明对任意的c, 都有M > 2;
(3) 若M ⩾k 对任意的b、c 恒成立, 试求k 的最大值.
526
评论（0）
请登录后发表评论。