本卷为官方高考数学真题（2009年湖北（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知P = {a | a = (1, 0) + m(0, 1), m ∈R}, Q = {b | b = (1, 1) + n(−1, 1),
n ∈R} 是两个向量集合, 则P ∩Q =
(
) 5分
A. {(1, 1)}
B. {(−1, 1)}
C. {(1, 0)}
D. {(0, 1)}
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2. 函数y = 1 −ax
1 + ax
(
x ∈R, x̸ = −1
a
)
的反函数是
(
)
1 + ax
(
x ∈R, x̸ = −1
a
)
1 −ax
(
x ∈R, x̸ = 1
a
)
1 + x
a(1 −x) (x ∈R, x̸ = 1)
1 −x
a(1 + x) (x ∈R, x̸ = −1) 5分
A. y = 1 −ax
B. y = 1 + ax
C. y =
D. y =
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3. 投掷两颗骰子, 得到其向上的点数分别为m 和n, 则复数(m + ni)(n −mi)
为实数的概率为
(
)
3
4
6
12 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
-
4. 函数y = cos
(
2x + π
6
)
−2 的图象F 按向量a 平移到F ′, F ′ 的解析式
y = f(x), 当y = f(x) 为奇函数时, 向量a 可以等于
(
)
(A)
(
−π
6 , −2
)
(B)
(
−π
6 , 2
)
(C)
(π
6 , −2
)
(D)
(π
6 , 2
) 5分
-
5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班, 每个班至少分到一名学生,
且甲、乙两名学生不能分到一个班, 则不同分法的种数为
(
) 5分
A. 18
B. 24
C. 30
D. 36
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6. 设
(√
2
2 + x
)2n
= a0 + a1x + a2x2 + · · · + a2n−1x2n−1 + a2nx2n, 则
lim
n→∞
[
(a0 + a2 + a4 + · · · + a2n)2 −(a1 + a3 + a5 + · · · + a2n−1)2]
= (
)
(D)
√
2
2 5分
A. −1
B. 0
C. 1
-
7. 已知双曲线x2
2 −y2
2
= 1 的准线过椭圆x2
4 + y2
b2 = 1 的焦点, 则直线
y = kx + 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是
(
)
[
−1
2, 1
2
]
(
−∞, −1
2
]
∪
[1
2, +∞
)
[
−
√
2
2 ,
√
2
2
]
(
−∞, −
√
2
2
]
∪
[√
2
2 , +∞
) 5分
A. k ∈
B. k ∈
C. k ∈
D. k ∈
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8. 在“家电下乡”活动中, 某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇, 现有4 辆
甲型货车和8 辆乙型货车可供使用, 每辆甲型货车运输费用400 元, 可装
洗衣机20 台; 每辆乙型货车运输费用300 元, 可装洗衣机10 台, 若每辆至
多只运一次, 则该厂所花的最少运输费用为
(
) 5分
A. 2000 元
B. 2200 元
C. 2400 元
D. 2800 元
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9. 设球的半径为时间t 的函数R(t). 若球的体积以均匀速度c 增长, 则球的
表面积的增长速度与球半径
(
) 5分
A. 成正比, 比例系数为c
B. 成正比, 比例系数为2c
C. 成反比, 比例系数为c
D. 成反比, 比例系数为2c
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10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数, 例如:
1
3
6
10
图1
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•
· · ·
•
1
4
9
16
图2
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•
· · ·
他们研究过图1 中的1, 3, 6, 10, · · · , 由于这些数能够表示成三角形, 将其
称为三角形数; 类似地, 称图2 中的1, 4, 9, 16· · · 这样的数成为正方形数.
下列数中及时三角形数又是正方形数的是
(
) 5分
A. 289
B. 1024
C. 1225
D. 1378
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1. 已知关于x 的不等式ax −1
x + 1 < 0 的解集是(−∞, −1) ∪
(
−1
2, +∞
)
, 则
. 5分
A. =
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2. 样本容量为200 的频率分布直方图. 根据样本的频率分布直方图估计, 样
本数落在[6, 10) 内的频数为
, 数据落在[2, 10) 内的概率约为
.
频率
组距
0
样本数据
0.02
0.08
0.09
0.03
2
6
10
14
18
22 5分
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3. 卫星和地面之间的电视信号沿直线传播, 电视信号能够传送到达的地面区
域, 称为这个卫星的覆盖区域. 为了转播2008 年北京奥运会, 我国发射了
“中星九号”广播电视直播卫星, 它离地球表面的距离约为36000 km. 已知
地球半径约为6400 km, 则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离
的最大值约为
km. (结果中保留反余弦的符号) 5分
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4. 已知函数f(x) = f ′ (π
4
)
cos x + sin x, 则f
(π
4
)
的值为
. 5分
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5. 已知数列
{an}
满足:
a1
=
m
(m
为正整数),
an+1
=
an
2 ,
当an为偶数时,
3an + 1,
当an为奇数时.
若a6 = 1, 则m 所有可能的取值为
. 5分
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1. 一个盒子里装有4 张大小形状完全相同的卡片, 分别标有数2, 3, 4, 5; 另
一个盒子也装有4 张大小形状完全相同的卡片, 分别标有数3, 4, 5, 6. 现
从一个盒子中任取一张卡片, 其上面的数记为x; 再从另一盒子里任取一张
卡片, 其上面的数记为y, 记随机变量η = x+y, 求η 的分布列和数学期望.
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2. 已知向量a = (cos α, sin α), b = (cos β, sin β), c = (−1, 0).
(1) 求向量b + c 的长度的最大值;
(2) 设α = π
4 , 且a ⊥(b + c), 求cos β 的值.
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3. 如图, 四棱锥S −ABCD 的底面是正方形, SD ⊥平面ABCD, SD = 2a,
AD =
√
2a, 点E 是SD 上的点, 且DE = λa (0 < λ ⩽2).
(1) 求证: 对任意的λ ∈(0, 2], 都有AC ⊥BE;
(2) 设二面角C −AE −D 的大小为θ, 直线BE 与平面ABCD 所成的角
为φ. 若tan θ · tan φ = 1, 求λ 的值.
A
B
C
D
S
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4. 已知{an} 的前n 项和Sn = −an −
(1
2
)n−1
+ 2 (n 为正整数).
(1) 令bn = 2nan, 求证数列{bn} 是等差数列, 并求数列{an} 的通项公式;
(2) 令cn = n + 1
n
an, Tn = c1 + c2 + · · · + cn, 试比较Tn 与
5n
2n + 1 的大
小, 并予以证明.
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5. 过抛物线y2 = 2px (p > 0) 的对称轴上一点A(a, 0) (a > 0) 的直线与抛物
线相交于M、N 两点, 自M、N 向直线l: x = −a 作垂线, 垂足分别为
M1、N1.
(1) 当a = p
2 时, 求证: AM1 ⊥AN1;
(2) 记△AMM1、△AM1N1、△ANN1 的面积分别为S1、S2、S3, 是否存
在λ, 使得对任意的a > 0, 都有S2
2 = λS1S3 成立. 若存在, 求出λ 的值;
若不存在, 说明理由.
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6. 在R 上定义运算⊗: p ⊗q = −1
3(p −c)(q −b) + 4bc (p、q 为实常数). 记
f1(x) = x2 −2c, f2(x) = x −2b, x ∈R. 令f(x) = f1(x) ⊗f2(x).
(1) 如果函数f(x) 在x = 1 处有极值−4
3, 试确定b、c 的值;
(2) 求曲线y = f(x) 上斜率为c 的切线与该曲线的公共点;
(3) 记g(x) = |f ′(x)| (−1 ⩽x ⩽1) 的最大值为M. 若M ⩾k 对任意的b、
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