2009年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. log2 √ 2 的值为 ( ) √ 2 (B) √ 2 2 2 5分
   A. − C. −1 D. 1
2. 2. 抛物线y2 = −8x 的焦点坐标是 ( ) 5分
   A. (2, 0) B. (−2, 0) C. (4, 0) D. (−4, 0)
3. 3. 设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和, 已知a2 = 3, a6 = 11, 则S7 等于( ) 5分
   A. 13 B. 35 C. 49 D. 63
4. 4. 如图, D, E, F 分别是△ABC 的边AB, BC, CA 的中点, 则 ( ) C B A E F D AD + # » BE + # » CF = 0 BD −# » CF + # » DF = 0 AD + # » CE −# » CF = 0 BD −# » BE −# » FC = 0 5分
   A. # » B. # » C. # » D. # »
5. 5. 某地政府召集5 家企业的负责人开会, 其中甲企业有2 人到会, 其余4 家 企业各有1 人到会, 会上有3 人发言, 则这3 人来自3 家不同企业的可能 情况的种数为 ( ) 5分
   A. 14 B. 16 C. 20 D. 48
6. 6. 平面六面体ABCD −A1B1C1D1 中, 既与AB 共面也与CC1 共面的棱的 条数为 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 7. 若函数y = f(x) 的导函数在区间[a, b] 上是增函数, 则函数y = f(x) 在区 间[a, b] 上的图象可能是 ( ) (A) a x b y O (B) a x b y O (C) a x b y O (D) a x b y O 5分
8. 8. 设函数y = f(x) 在(−∞, +∞) 内有定义. 对于给定的正数K, 定义函数 fK(x) = { f(x), f(x) ⩽K, K, f(x) > K. 取函数f(x) = 2−|x|. 当K = 1 2 时, 函数 fK(x) 的单调递增区间为 ( ) 5分
   A. (−∞, 0) B. (0, +∞) C. (−∞, −1) D. (1, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 某班共30 人, 其中15 人喜爱篮球运动, 10 人喜爱兵乓球运动, 8 人对这两 项运动都不喜爱, 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 5分
2. 2. 若x > 0, 则x + 2 x 的最小值为 . 5分
3. 3. 在(1 + √x) 4 的展开式中, x 的系数为 . (用数字作答) 5分
4. 4. 一个总体分为A, B 两层, 用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10 的样本. 已知B 层中每个个体被抽到的概率都为1 12, 则总体中的个体数 为 . 5分
5. 5. 过双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一个焦点作圆x2 + y2 = a2 的 两条切线, 切点分别为A, B. 若∠AOB = 120◦(O 是坐标原点), 则双曲 线线C 的离心率为 . 5分
6. 6. 在锐角△ABC 中, BC = 1, B = 2A, 则AC cos A 的值等于 , AC 的取 值范围为 . 5分
7. 7. 如图, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起. 若# » AD = x# » AB + y# » AC, 则 x = , y = . A B C D E 45◦ 60◦ 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = (sin θ, cos θ −2 sin θ), b = (1, 2). (1) 若a b, 求tan θ 的值; (2) 若|a| = |b|, 0 < θ < π, 求θ 的值.
2. 2. 为拉动经济增长, 某市决定新建一批重点工程, 分别为基础设施工程、民 生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的1 2、 1 3、1 6. 现在3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设. 求: (1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2) 至少有1 人选择的项目属于民生工程的概率.
3. 3. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 4, AA1 = √ 7. 点D 是BC 的中点, 点E 在AC 上, 且DE ⊥A1E. (1) 证明: 平面A1DE ⊥平面ACC1A1; (2) 求直线AD 和平面A1DE 所成角的正弦值. C B B1 A A1 D C1 E 529
4. 4. 已知函数f(x) = x3 + bx2 + cx 的导函数的图象关于直线x = 2 对称. (1) 求b 的值; (2) 若f(x) 在x = t 处取得极小值, 记此极小值为g(t), 求g(t) 的定义域 和值域.
5. 5. 已知椭圆C 的中心在原点, 焦点在x 轴上, 以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8 的正方形(记为Q). (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设点P 是椭圆C 的左准线与x 轴的交点, 过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M, N 两点. 当线段MN 的中点落在正方形Q 内(包括边界) 时, 求直线l 的斜率的取值范围.
6. 6. 对于数列{un}, 若存在常数M > 0, 对任意的n ∈N∗, 恒有|un+1 −un| + |un −un−1| + · · · + |u2 −u1| ⩽M, 则称数列{un} 为B−数列. (1) 首项为1, 公比为−1 2 的等比数列是否为B−数列? 请说明理由; (2) 设Sn 是数列{xn} 的前n 项和, 给出下列两组论断: ②数列{xn} 不是B−数列 ④数列{Sn} 不是B−数列 请以其中一组中的一个论断为条件, 另一组中的一个论断为结论组成一个 命题. 判断所给命题的真假, 并证明你的结论; (3) 若数列{an} 是B−数列, 证明: 数列{a2 n} 也是B−数列. 530

原卷配图（含真实几何/应用题图示）