2009年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年湖南（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若log2a < 0, (1 2 )b > 1, 则 ( ) 5分
   A. a > 1, b > 0 B. a > 1, b < 0 C. 0 < a < 1, b > 0 D. 0 < a < 1, b < 0
2. 2. 对于非零向量a, b, “a + b = 0”是“a b”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 将函数y = sin x 的图象向左平移φ (0 ⩽φ < 2π) 的单位后, 得到函数 y = sin ( x −π 6 ) 的图象, 则φ 等于 ( ) 6 6 6 6 5分
   A. π B. 5π C. 7π D. 11π
4. 4. 如图, 当参数λ = λ1, λ2 时, 连续函数y = x 1 + λx (x ⩾0) 的图象分别对 应曲线C1 和C2, 则 ( ) C2 C1 x y O 5分
   A. 0 < λ1 < λ B. 0 < λ < λ1 C. λ1 < λ2 < 0 D. λ2 < λ1 < 0
5. 5. 从10 名大学生毕业生中选3 个人担任村长助理, 则甲、乙至少有1 人入 选, 而丙没有入选的不同选法的种数位 ( ) 5分
   A. 85 B. 56 C. 49 D. 28
6. 6. 已知D 是由不等式组 { x −2y ⩾0, x + 3y ⩾0 所确定的平面区域, 则圆x2 + y2 = 4 在区域D 内的弧长为 ( ) 4 2 4 2 5分
   A. π B. π C. 3π D. 3π
7. 7. 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱上到异面直线AB, CC1 的距离相等的 点的个数为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 8. 设函数y = f(x) 在(−∞, +∞) 内有定义. 对于给定的正数K, 定义函 数fK(x) = { f(x), f(x) ⩽K, K, f(x) > K. 取函数f(x) = 2 −x −e−x. 若对任意的 x ∈(−∞, +∞), 恒有fK(x) = f(x), 则 ( ) 5分
   A. K 的最大值为2 B. K 的最小值为2 C. K 的最大值为1 D. K 的最小值为1

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 某班共30 人, 其中15 人喜爱篮球运动, 10 人喜爱兵乓球运动, 8 人对这两 项运动都不喜爱, 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 5分
2. 2. 在(1 + x)3 + (1 + √x) 3 + (1 + 3√x)3 的展开式中, x 的系数为 . (用 数字作答) 5分
3. 3. 若x ∈ ( 0, π 2 ) , 则2 tan x + tan (π 2 −x ) 的最小值为 . 5分
4. 4. 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中, 有一个 内角为60◦, 则双曲线C 的离心率为 . 5分
5. 5. 一个总体分为A, B 两层, 其个体数之比为4 : 1, 用分层抽样方法从总体中 抽取一个容量为10 的样本. 已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为1 28, 则 总体中的个体数为 . 5分
6. 6. 在半径为13 的球面上有A, B, C 三点, AB = 6, BC = 8, CA = 10, 则 (1) 球心到平面ABC 的距离为 ; (2) 过A, B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为(锐角) 的正切值 为 . 5分
7. 7. 将正△ABC 分割成n2 (n ⩾2, n ∈N∗) 个全等的小正三角形(图1, 图 2 分别给出了n = 2, 3 的情形), 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使 位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时) 都分别依次成等差数列. 若顶点A, B, C 处的三个数互不相同且和 为1, 记所有顶点上的数之和为f(n), 则有f(2) = 2, f(3) = , · · · , f(n) = . A B C 图1 A B C 图2 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知2# » AB · # » AC = √ 3 # » AB  · # » AC  = 3# » BC 2, 求角A, B, C 的大小.
2. 2. 为拉动经济增长, 某市决定新建一批重点工程, 分别为基础设施工程、民 生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的1 2、 1 3、1 6. 现在3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2) 记ξ 为3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数, 求ξ 的分布列及数学期望.
3. 3. 如图, 在正三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = √ 2AA1. 点D 是A1B1 的中 点, 点E 在A1C1 上, 且DE ⊥AE. (1) 证明: 平面ADE ⊥平面ACC1A1; (2) 求直线AD 和平面ABC1 所成角的正弦值. C B B1 A A1 D C1 E 527
4. 4. 某地建一座桥, 两端的桥墩已建好, 这两墩相距m 米, 余下工程只需要建 两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算, 一个桥墩的工程费用为256 万元, 距 离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 + √x)x 万元. 假设桥墩等 距离分布, 所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素, 记余下工程的费用为y 万元. (1) 试写出y 关于x 的函数关系式; (2) 当m = 640 米时, 需新建多少个桥墩才能使y 最小?
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 点P 到点F(3, 0) 的距离的4 倍与它到直线 x = 2 的距离的3 倍之和记为d. 当点P 运动时, d 恒等于点P 的横坐标 与18 之和. (1) 求点P 的轨迹C; (2) 设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M, N 两点, 求线段MN 长度的 最大值.
6. 6. 对于数列{un}, 若存在常数M > 0, 对任意的n ∈N∗, 恒有|un+1 −un| + |un −un−1| + · · · + |u2 −u1| ⩽M, 则称数列{un} 为B−数列. (1) 首项为1, 公比为q (|q| < 1) 的等比数列是否为B−数列? 请说明理 由; (2) 设Sn 是数列{xn} 的前n 项和, 给出下列两组论断: ②数列{xn} 不是B−数列 ④数列{Sn} 不是B−数列 请以其中一组中的一个论断为条件, 另一组中的一个论断为结论组成一个 命题. 判断所给命题的真假, 并证明你的结论; (3) 若数列{an}, {bn} 都是B−数列, 证明: 数列{anbn} 也是B−数列. 528

原卷配图（含真实几何/应用题图示）