2009年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合A = {x | x > 0}, B = {x | x < 3}, 则A ∩B 等于 5分
   A. {x | x < 0} B. {x | 0 < x < 3} C. {x | x > 3} D. R
2. 2. 下列函数中, 与函数y = 1 √x 有相同定义域的是 x . 5分
   A. f(x) = ln x B. f(x) = 1 C. f(x) = |x| D. f(x) = ex
3. 3. 一个容量100 的样本, 其数据的分组与各组的频数如下表 组别 (0, 10] (20, 20] (20, 30) (30, 40) (40, 50] (50, 60] (60, 70] 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在(10, 40) 上的频率为 ( ) 5分
   A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
4. 4. 若双曲线x2 a2 −y2 32 = 1 (a > 0) 的离心率为2, 则a 等于 ( ) (B) √ 3 2 5分
   A. 2 C. 3 D. 1
5. 5. 如图, 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形, 且体积为1 2. 则 该集合体的俯视图可以是 ( ) 1 1 正视图 1 1 侧视图 (A) (B) (C) (D) 5分
6. 6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的结果是 ( ) 开始 S = 2 n = 1 S = 1 1 −S n = n + 1 S = 2 输出n 结束 是 否 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 已知锐角△ABC 的面积为3 √ 3, BC = 4, CA = 3, 则角C 的大小为( ) 5分
   A. 75◦ B. 60◦ C. 45◦ D. 30◦
8. 8. 定义在R 上的偶函数f (x) 的部分图象如图所示, 则在(−2, 0) 上, 下列函 数中与f (x) 的单调性不同的是 ( ) x y 2 1 O { 2x + 1, x ⩾0, x3 + 1, x < 0. { ex, x ⩾0, e−x, x < 0. 5分
   A. y = x2 + 1 B. y = |x| + 1 C. y = D. y =
9. 9. 在平面直角坐标系中, 若不等式组        x + y −1 ⩾0, x −1 ⩽0, ax −y + 1 ⩾0, 平面区域内的面积等于2, 则a 的值为 ( ) 5分
   A. 为常数) 所表示的 A. −5 B. 1 C. 2 D. 3
10. 10. 设m, n 是平面α 内的两条不同直线, l1, l2 是平面β 内的两条相交直线, 则α β 的一个充分而不必要条件是 ( ) β 且l1 α l1 且n l2 β 且n β β 且n l2 5分
    A. m B. m C. m D. m
11. 11. 函数f (x) 的零点与g (x) = 4x + 2x −2 的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f (x) 可以是 ( ) ( x −1 2 ) 5分
    A. f (x) = 4x −1 B. f (x) = (x −1)2 C. f (x) = ex −1 D. f (x) = ln
12. 12. 设a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且满足a 与b 不共线, a ⊥c, |a| = |c|, 则|b · c| 的值一定等于 ( ) 5分
    A. 以a, b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以b, c 为邻边的平行四边形的面积 C. 以a, b 为两边的三角形面积 D. 以b, c 为两边的三角形面积

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 复数i2 (1 + i) 的实部是 . 5分
2. 2. 点A 为周长等于3 的圆周上的一个定点. 若在该圆周上随机取一点B, 则 劣弧˜ AB 的长度小于1 的概率为 . 5分
3. 3. 若曲线f (x) = ax2 + ln x 存在垂直于y 轴的切线, 则实数a 的取值范围 是 . 5分
4. 4. 五位同学围成一圈依序循环报数, 规定: ①第一位同学首次报出的数为1, 第二位同学首次报出的数也为1, 之后每 位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的数为3 的倍数, 则报该数的同学需拍手一次. 当第30 个数被报出时, 五位同学拍手的总次数为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 等比数列{an} 中, 已知a1 = 2, a4 = 16. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若a3, a5 分别为等差数列{bn} 的第3 项和第5 项, 试求数列{bn} 的 通项公式及前n 项和Sn. 517
2. 2. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个, 现一次有放回地随机摸取3 次, 每次摸取一个球. (1) 试问: 一共有多少种不同的结果? 请列出所有可能的结果; (2) 若摸到红球时得2 分, 摸到黑球时得1 分, 求3 次摸球所得总分为5 的概率.
3. 3. 已知函数f(x) = sin(ωx + φ), 其中ω > 0, |φ| < π 2 . (1) 若cos π 4 cos φ −sin 3π 4 sin φ = 0, 求φ 的值; (2) 在(1) 的条件下, 若函数f(x) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等 于π 3 , 求函数f(x) 的解析式; 并求最小正实数m, 使得函数f(x) 的图象 象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数.
4. 4. 如图, 平行四边形ABCD 中, ∠DAB = 60◦, AB = 2, AD = 4. 将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置, 使平面EDB ⊥平面ABD. (1) 求证: AB ⊥DE; (2) 求三棱锥E −ABD 的侧面积. A B C D E
5. 5. 已知函数f(x) = 1 3x3 + ax2 + bx, 且f ′(−1) = 0. (1) 试用含a 的代数式表示b; (2) 求f(x) 的单调区间; (3) 令a = −1, 设函数f(x) 在x1, x2 (x1 < x2) 处取得极值, 记点 M(x1, f(x1)), N(x2, f(x2)). 证明: 线段MN 与曲线f(x) 存在异于M、 N 的公共点.
6. 6. 已知直线x −2y + 2 = 0 经过椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左顶点 动点, 直线, AS, BS 与直线l: x = 10 3 分别交于M, N 两点. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 求线段MN 的长度的最小值; (3) 当线段MN 的长度最小时, 在椭圆C 上是否存在这样的点T, 使得 △TSB 的面积为1 5? 若存在, 确定点T 的个数, 若不存在, 说明理由. x y O D A B S M N 518

原卷配图（含真实几何/应用题图示）