2009年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2009年福建（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 函数f(x) = sin x cos x 的最小值是 ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
2. 2. 已知全集U = R, 集合A = {x | x2 −2x > 0}, 则∁UA 等于 ( ) 5分
   A. {x | 0 ⩽x ⩽2} B. {x | 0 < x < 2} C. {x | x < 0 或x > 2} D. {x | x ⩽0 或x ⩾2}
3. 3. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 且S3 = 6, a1 = 4, 则公差d 等于 ( ) 3 5分
   A. 1 B. 5 C. 2 D. 3
4. 4. ∫ π 2 −π 2 (1 + cos x)dx 等于 ( ) 5分
   A. π B. 2 C. π −2 D. π + 2
5. 5. 下列函数f(x) 中, 满足“对任意x1, x2 ∈(0, +∞), 当x1 < x2 时, 都有 f(x1) > f(x2)”的是 ( ) x 5分
   A. f(x) = 1 B. f(x) = (x −1)2 C. f(x) = ex D. f(x) = ln(x + 1)
6. 6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的结果是 ( ) 开始 S = 2 n = 1 S = 1 1 −S n = 2n S = 2 输出n 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
7. 7. 设m, n 是平面α 内的两条不同直线, l1, l2 是平面β 内的两条相交直线, 则α β 的一个充分而不必要条件是 ( ) β 且l1 α l1 且n l2 β 且n β β 且n l2 5分
   A. m B. m C. m D. m
8. 8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%. 现采用随机模拟的方法估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器算出0 到9 之间取整 数值的随机数, 指定1, 2, 3, 4 表示命中, 5, 6, 7, 8, 9, 0 表示不命中; 再以每 三个随机数为一组, 代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计, 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) 5分
   A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
9. 9. 设a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且满足a 与b 不共线, a ⊥c, |a| = |c|, 则|b · c| 的值一定等于 ( ) 5分
   A. 以a, b 为两边的三角形面积 B. 以b, c 为两边的三角形面积 C. 以a, b 为邻边的平行四边形的面积 D. 以b, c 为邻边的平行四边形的面积
10. 10. 函数f(x) = ax2 + bx + c (a̸ = 0) 的图象关于直线x = −b 2a 对 称. 据此可推测, 对任意的非零实数a, b, c, m, n, p, 关于x 的方程 m[f(x)]2 + nf(x) + p = 0 的解集都不可能是 ( ) 5分
    A. {1, 2} B. {1, 4} C. {1, 2, 3, 4} D. {1, 4, 16, 64}

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若 2 1 −i = a + bi (i 为虚数单位, a, b ∈R) 则a + b = . 5分
2. 2. 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛, 9 位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后, 算的平均分为91, 复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图 中的x) 无法看清. 若记分员计算无误, 则数字x 应该是 . 作品A 8 8 9 9 9 2 3 x 2 1 4 5分
3. 3. 过抛物线y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 作倾斜角为45◦的直线交抛物线于 . 5分
   A. B 两点, 若线段AB 的长为8, 则p =
4. 4. 若曲线f(x) = ax3 + ln x 存在垂直于y 轴的切线, 则实数a 取值范围 是 . 5分
5. 5. 五位同学围成一圈依序循环报数, 规定: ①第一位同学首次报出的数为1, 第二位同学首次报出的数也为1, 之后每 位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的数为3 的倍数, 则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数, 当五位同学依序循环报到第100 个数时, 甲同学 拍手的总次数为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 从集合{1, 2, 3, 4, 5} 的所有非空子集中, 等可能地取出一个. (1) 记性质r: 集合中的所有元素之和为10, 求所取出的非空子集满足性质 r 的概率; (2) 记所取出的非空子集的元素个数为ξ, 求ξ 的分布列和数学期望Eξ.
2. 2. 如图, 四边形ABCD 是边长为1 的正方形, MD ⊥平面ABCD, NB ⊥ 平面ABCD, 且MD = NB = 1, E 为BC 的中点. (1) 求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值; (2) 在线段AN 上是否存在点S, 使得ES ⊥平面AMN? 若存在, 求线段 AS 的长; 若不存在, 请说明理由. A B C D M N E 515
3. 3. 如图, 某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道. 赛道的 前一部分为曲线段OSM, 该曲线段为函数y = A sin ωx (A > 0, ω > 0), x ∈[0, 4] 的图象, 且图象的最高点为S ( 3, 2 √ 3 ) ; 赛道的后一部分为折线段 MNP. 为保证参赛运动员的安全, 限定∠MNP = 120◦. (1) 求A, ω 的值和M, P 两点间的距离; (2) 应如何设计, 才能使折线段赛道MNP 最长? x y O M N 3 4 8 P 2 √ 3 S
4. 4. 已知A, B 分别为曲线C: x2 a2 +y2 = 1 (y ⩾0, a > 0) 与x 轴的左、右两个 交点, 直线l 过点B, 且与x 轴垂直, S 为l 上异于点B 的一点, 连结AS 交曲线C 于点T. (1) 若曲线C 为半圆, 点T 为圆弧˜ AB 的三等分点, 试求出点S 的坐标; (2) 如图, 点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点. 试问: 是否存在 a, 使得O, M, S 三点共线? 若存在, 求出a 的值, 若不存在, 请说明理由. x y O M T A B S l
5. 5. 已知函数f(x) = 1 3x3 + ax2 + bx, 且f ′(−1) = 0. (1) 试用含a 的代数式表示b, 并求f(x) 的单调区间; (2) 令a = −1, 设函数f(x) 在x1, x2 (x1 < x2) 处取得极值, 记点 M(x1, f(x1)), N(x2, f(x2)), P(m, f(m)), x1 < m < x2. 请仔细观察曲线 f(x) 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势, 并解释以下问题: ①若对任意的m ∈(t, x2], 线段MP 与曲线f(x) 均有异于M, P 的 公共点, 试确定t 的最小值, 并证明你的结论; ②若存在点Q(n, f(n)), x1 ⩽n < m, 使得线段PQ 与曲线f(x) 有异 于P、Q 的公共点, 请直接写出m 的取值范围. (不必给出求解过程)
6. 6. 三选二. 【A】已知矩阵M = ( 2 −3 1 −1 ) 所对应的线性变换把点A(x, y) 变成点 A′(13, 5), 试求M 的逆矩阵及点A 的坐标. 【B】已知直线l: 3x + 4y −12 = 0 与圆C: { x = −1 + 2 cos θ, y = 2 + 2 sin θ, (θ 为参数), 试判断他们的公共点个数. 【C】解不等式|2x −1| < |x| + 1. 516

原卷配图（含真实几何/应用题图示）