2009年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2009年辽宁（文科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, A, B, C, D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B, D 为两岛上的两 座灯塔的塔顶. 测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75◦, 30◦, 于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60◦, AC = 0.1 km. 试探 究图中B, D 间距离与另外哪两点间距离相等, 然后求B, D 的距离. (计 算结果精确到0.01 km, √ 2 ≈1.414, √ 6 ≈2.449) A B C D 75◦ 30◦60◦ 60◦
2. 2. 如图, 已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内, M, N 分别为 AB, DF 的中点. (1) 若CD = 2, 平面ABCD ⊥平面DCEF, 求直线MN 的长; (2) 用反证法证明: 直线ME 与BN 是两条异面直线. A B M F C D E N
3. 3. 某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸(单位: mm) 的值落在 [29.94, 30.06] 的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中个抽出500 件, 量其内径尺寸, 得结果如下表: 甲厂 分组 频数 [29.86, 29.90) 12 [29.90, 29.94) 63 [29.84, 29.98) 86 [29.98, 30.02) 182 [30.02, 30.06) 92 [30.06, 30.10) 61 [30.10, 30.14) 4 乙厂 分组 频数 [29.86, 29.90) 29 [29.90, 29.94) 71 [29.84, 29.98) 85 [29.98, 30.02) 159 [30.02, 30.06) 76 [30.06, 30.10) 62 [30.10, 30.14) 18 (1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2) 由于以上统计数据填下面2 × 2 列联表, 并问是否有99% 的把握认为 “两个分厂生产的零件的质量有差异”. 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附: χ2 = n(n11n22 −n12n21)2 n1+n2+n+1n+2 , P(χ2 ⩾k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635
4. 4. 设f(x) = ex(ax2 + x + 1), 且曲线y = f(x) 在x = 1 处的切线与x 轴平 行. (1) 求a 的值, 并讨论f(x) 的单调性; (2) 证明: 当θ ∈ [ 0, π 2 ] 时, |f(cos θ) −f(sin θ)| < 2.
5. 5. 已知椭圆C 过点A ( 1, 3 2 ) , 两个焦点为(−1, 0), (1, 0). (1) 求椭圆C 的方程; (2) E, F 是椭圆C 上的两个动点, 如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互 为相反数, 证明直线EF 的斜率为定值, 并求出这个定值. 540

原卷配图（含真实几何/应用题图示）